28、图论中的匹配与路径问题研究

图论中的匹配与路径问题研究

在图论领域，图的匹配和路径问题一直是研究的热点。下面将围绕图的匹配、超图相关性质以及次短路径问题展开详细探讨。

图的匹配与图类关系

在图的匹配问题中，对于对偶弦图，添加悬挂顶点后得到的图仍然是对偶弦图。设 (G) 是一个图，(\alpha(G)) 表示 (G) 中最大独立集的大小，(dm_{2k}(G^+)) 表示 (G^+) 中最大距离 - (2k) 匹配的大小。可以证明 (\alpha(G) = dm_{2k}(G^+))。

图类之间存在着特定的包含关系，如下表所示：
|图类简称|图类全称|
| ---- | ---- |
|WC|弱弦图（Weakly Chordal）|
|Ch|弦图（Chordal）|
|DuC|对偶弦图（Dually Chordal）|
|DbC|双弦图（Doubly Chordal）|
|SC|强弦图（Strongly Chordal）|
|Int|区间图（Interval）|

其包含关系可以用如下 mermaid 流程图表示：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    WC([WC]):::process --> Ch([Ch]):::process
    Ch --> DuC([DuC]):::process
    Ch --> DbC([DbC]):::process
    Ch --> SC