27、弱弦图和对偶弦图的新最小 - 最大定理

弱弦图和对偶弦图的新最小 - 最大定理

1. 弱弦图的最小 - 最大定理

1.1 相关定义

对于图 (G)，用 (G^ ) 表示 (G) 的线图的平方。具体而言，(G^ ) 的顶点是 (G) 的边。(G) 的边 (e_i)，(e_j) 在 (G^*) 中不相邻当且仅当它们在 (G) 中构成 (2K_2)。

1.2 重要性质

• 若 (G) 是弱弦图，则 (G^*) 也是弱弦图。
• 每个弱弦图都是完美图。
• 当 (G) 是弱弦图时，(im(G) = \alpha(G^ ) = \theta(G^ ))，其中 (\alpha(G^ )) 是 (G^ ) 中最大独立集的大小，(\theta(G^ )) 是 (G^ ) 的最小团覆盖数，且 (\theta(G^*) \leq coc(G))。

1.3 关键命题及证明

• 命题 3 ：若 (G) 是弱弦图，则 (coc(G) = im(G))。
  • 证明思路 ：利用弱弦图的边消除方案。边 (xy) 是图 (G) 的共对（co - pair），如果顶点 (x) 和 (y) 不是 (G) 中任何 (P_k)（(k \geq 4)）的端点。
  • 相关命题 ：
    • 若 (e) 是图 (G) 的共对，则 (G) 是弱弦