25、图论算法：Yao图与全对最短路径问题的新突破

图论算法：Yao图与全对最短路径问题的新突破

1. Yao图相关研究

在图论研究中，Yao图有着独特的性质。当考虑Yao图中的特定情况时，比如Case 3b，若点x位于e的上方（如图12a所示），由于x属于C3(e)，在C3(e)中存在一条边 $\overrightarrow{ez}$ 属于Y6，且满足 $|ez| \leq |ex| < |ec2|$，所以 $z \in D3(e, |ec2|)$。

由此可推出，$P5(z, a)$ 的较短边不超过 $\delta z = \delta ab + \delta ec2$。通过代入 $|ec2| = |ec| + \delta ab$、Lem. 5中ec的上界以及对应(1)式的不等式 $\delta ec2 = |ec2|(2 / \sqrt{3} - 1)$，能得到 $\delta z < 4\delta ab / 3$。

在特定条件下，即 $D3(c, |ab|)$ 为空且 $yao3(z, a)$ 不能穿过ac时，根据Lem. 6，在Y6中存在一条路径 $\pi(z, a)$，其松散上界为 $|\pi(z, a)| \leq |ab| + \delta z + 2t\delta z$。那么路径 $\pi(a, e) = ez \oplus \pi(z, a)$ 不超过 $2|ab| + \delta z + 2t\delta z$，对于任意 $t > 3.8$，该路径长度小于 $t|ae|$。

综合各种情况，得出定理的结论成立。结合定理1和定理2的结果，得到主要结论：Y6是一个17.64 - 扩张器。

目前已知Y2和Y3不是扩张器，Y4是扩张器，对于 $k \geq