51nod 1405 树的距离之和

最新推荐文章于 2021-09-04 11:27:53 发布

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/dml_96/article/details/51336900

本文介绍了一种使用树形DP算法解决求解无根树中任意两点间距离之和的问题的方法。通过定义关键变量并利用DFS遍历进行计算，最终实现了高效求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定一棵无根树，假设它有n个节点，节点编号从1到n, 求任意两点之间的距离（最短路径）之和。

Input

第一行包含一个正整数n (n <= 100000)，表示节点个数。
后面(n - 1)行，每行两个整数表示树的边。

Output

每行一个整数，第i(i = 1,2,...n)行表示所有节点到第i个点的距离之和。

Input示例

Output示例

官方题解：

数学题，也可以说dp，不太难。
   
    （1）我们给树规定一个根。假设所有节点编号是0-(n-1),我们可以简单地把0当作根，这样下来父子关系就确定了。
   
   
    （2）定义数组num[x]表示以节点x为根的子树有多少个节点，dp[x]是我们所求的——所有节点到节点x的距离之和。
   
   
    （3）在步骤（1）中，其实我们同时可以计算出 num[x]，还可以计算出每个节点的深度(每个到根节点0的距离），累加全部节点深度得到的其实就是是dp[0]。
   
   
    （4） 假设一个非根节点x，它的父亲节点是y， 并且dp[y]已经计算好了，我们如何计算dp[x]?  
   
   
    以x为根的子树中那些节点，到x的距离比到y的距离少1, 这样的节点有num[x]个。
   
   
            其余节点到x的距离比到y的距离多1，这样的节点有(n - num[x])个。
   
   
            于是我们有 dp[x] = dp[y] - num[x] + (n - num[x])
   
   
                                          = dp[y] + n - num[x] * 2
   
   
            因为树的根节点dp[0]在步骤(3)已经计算出来了，根据所有的父子关系和这个上式，我们可以按照顺序计算出整个dp数组。
   
   

   
   

   
   
    注意点： 重要的步骤都是简单的dfs，但是一半递归实现可能导致堆栈溢出。
   
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
#pragma comment(linker, "/STACK:10240000,10240000")
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf =0x3f3f3f3f;
const double  pi = acos(-1.0);
const int N = 1e5 + 10;
int root[N], num[N], len[N], vis[N], n;
vector<int>path[N];
ll dp[N];
void dfs1(int x)
{
    num[x]  = 1;
    for(int i = 0, sz = (int)path[x].size(); i<sz; i++)
    {
        int y = path[x][i];
        if(!vis[y])
        {
            vis[y] = 1;
            len[y] = len[x] + 1;
            dp[1] += len[y];
            dfs1(y);
            num[x] += num[y];
        }
    }
}
void dfs2(int x)
{
    for(int i = 0, sz = (int)path[x].size(); i<sz; i++)
    {
        int y = path[x][i];
        if(!vis[y])
        {
            dp[y] = dp[x] - num[y] + n - num[y];
            vis[y] = 1;
            dfs2(y);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    int u, v;
    for(int i = 1; i<n; i++)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        path[u].push_back(v);
        path[v].push_back(u);
    }
    vis[1] = 1;
    dfs1(1);
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
  //  for(int i = 1; i<=n; i++)
  //      printf("%d\n", num[i]);
    vis[1] = 1;
    dfs2(1);
    for(int i = 1; i<=n; i++)
        printf("%I64d\n", dp[i]);
        return 0;
}

曹鹏 (题目提供者)