1283.山师好男友（开关灯问题）

最新推荐文章于 2021-12-18 14:48:30 发布

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本文探讨了一种有趣的数学问题——彩灯开关谜题。通过分析灯泡被切换次数与其编号因子的关系，得出结论：只有编号为完全平方数的灯泡最终会处于开启状态。文章还提供了一个简洁的C++实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description
川川想给他的女朋友一些惊喜，于是他准备了好多彩灯，他的女朋友十分感动，然后让川川这样做：如果她走到了第2盏彩灯处，那么川川就要改变所有2的倍数的灯的状态（灯有两种状态，开着的和关着的），假如一开始所有灯都是关着的，那么川川就要打开第2盏，第4盏，第6盏…，同样的道理，假如她走到的第三盏灯的位置，那么川川就要改变第3盏，第6盏，第9盏…的状态。
现在一开始所有的灯都是关着的，一共有N盏灯，川川从第2盏灯走到了第N盏灯，请问从第A盏灯跟第B盏灯之间（包含AB两盏），有多少彩灯是开着的？

Input
三个数，N，A，B（A,B,N<10^6）

Output
第A盏灯跟第B盏灯之间(包含AB)开着的灯的数目

Sample Input
5 1 3

Sample Output
2

思路：可以看出，被按了奇数次数的灯最后是开着的，而被按了偶数次数的灯最后是关着的。而如果一个数有偶数个因子那就会被按偶数次，如果有奇数个因子就会被按奇数次。这就会涉及到质因子分解定理，即任何正数都能被分解成多个质数的幂次乘积的形式
如：
14=2*7
50=2*5^2
…
100=2^2*5^2
也就是N=(p[1]^e[1])(p[2]^e[2])……(p[k]^e[k])，其中p[i]是质数，e[i]是p[i]的幂次。而由这个公式我们又可以导出一个数有多少个因子的计算公式:FactorNumber(N)=(e[1]+1)(e[2]+1)……(e[k]+1)。

那么什么条件下满足FactorNumber(N)是奇数呢？显然必须所有的e[1],e[2],……,e[k]都必须是偶数，这样才能保证e[i]+1是奇数，结果乘积才能是奇数。而由于e[1],e[2],……,e[k]都是偶数,那么N一定是一个完全平方数(因为sqrt(N)=(p[1]^(e[1]/2))(p[2]^(e[2]/2))……*(p[k]^(e[k]/2))是整数) 。回到按灯泡的问题上来，1~100中完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100这10个数，也就是说最后只有编号为这10个数的灯是亮着的。

# include <cmath>
# include <iostream>
# include <algorithm>
using namespace std;
int n, a, b, s;
int main ()
{
    while (cin >> n >> a >> b)
    {
        if (a > b)
            swap(a,b);
        s = 0;
        for (double i=a; i<=b; ++i)
        {
            double t = sqrt (i);
            if (t - (int)t)
                s++;
        }
        cout << s << endl;
    }

    return 0;
}