【Codforces】 CF1303G Sum of Prefix Sums

最新推荐文章于 2026-01-08 22:28:34 发布

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文章讲述了在CF/Luogu方向的一个题目，涉及使用点分治思想和李超树优化求解树上路径的动态规划问题，重点关注sumUP和sumDOWN的计算及查询效率提升。

题目链接

CF方向
 Luogu方向

题目解法

其实我第一反应是 $dsu\;on\;tree$ ，但那个不好写，就改写点分治了

树上的静态问题，考虑点分治
考虑一条 $u - > l c a - > v$ 的路径，令 $u - > l c a$ 的路径上不包括 $l c a$ 的 $sumUP=\sum{val_i*len_{after\;i}}$ ，总和为 $tot=\sum val_i$ ， $l c a - > v$ 的路径上不包括 $l c a$ 的 $sumDOWN=\sum{val_i*len_{after\;i}}$ ，长度为 $l e n$
考虑这条路径的答案为 $sumUP+tot*(len+1)+sumDOWN+val_{lca}*(len+1)$
考虑已知 $l c a - > v$ 的路径的信息，问题是如何找到最大的 $s u m U P + t o t * (l e n + 1)$
考虑到这是一个一次函数的形式，所以想到李超树维护 $k = t o t, b = s u m U P$
这里清空李超树不能全部遍历一遍，需要把用过的清空
注意到整体修改李超树的时间复杂度是 $O(log\;n)$
点分治自带 $O (n l o g n)$
所以时间复杂度为 $O(nlog^2n)$

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N(150100),inf(1e18);
struct Segment_Tree{
	int mxk[N<<2],mxb[N<<2];
	int calc(int k,int b,int p){
		if(k==-1&&b==-1) return -inf;
		return k*p+b;
	}
	void insert(int l,int r,int x,int k,int b){
		if(calc(k,b,l)<=calc(mxk[x],mxb[x],l)&&calc(k,b,r)<=calc(mxk[x],mxb[x],r)) return;
		if(calc(k,b,l)>calc(mxk[x],mxb[x],l)&&calc(k,b,r)>calc(mxk[x],mxb[x],r)){ mxk[x]=k,mxb[x]=b;return;}
		int mid=(l+r)>>1;
		if(calc(k,b,mid)>calc(mxk[x],mxb[x],mid)) swap(mxk[x],k),swap(mxb[x],b);
		if(mxk[x]>k) insert(l,mid,x<<1,k,b);
		else insert(mid+1,r,x<<1^1,k,b);
	}
	void clear(int l,int r,int x){
		if(mxk[x]==-1&&mxb[x]==-1) return;
		mxk[x]=mxb[x]=-1;
		if(l==r) return;
		int mid=(l+r)>>1;
		clear(l,mid,x<<1),clear(mid+1,r,x<<1^1);
	}
	int query(int l,int r,int x,int p){
		if(l==r) return calc(mxk[x],mxb[x],p);
		int mid=(l+r)>>1,t=calc(mxk[x],mxb[x],p);
		if(mid>=p) return max(t,query(l,mid,x<<1,p));
		else return max(t,query(mid+1,r,x<<1^1,p));
	}
}T;
struct Node{
	int sumUP,sumDOWN,len,tot;
}stk[N];
int top;
int n,val[N],ans;
int e[N<<1],ne[N<<1],h[N],idx;
bool vis[N],cut[N];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar()) FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
int get_size(int u,int fa){
	int siz=1;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]) if(!vis[e[i]]&&e[i]!=fa) siz+=get_size(e[i],u);
	return siz;
}
int get_root(int u,int fa,int &rt,int tot){
	if(vis[u]) return 0;
	int siz=1,ms=0;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		if(e[i]==fa) continue;
		int t=get_root(e[i],u,rt,tot);
		siz+=t,ms=max(ms,t);
	}
	ms=max(ms,tot-siz);
	if(ms<=tot/2) rt=u;
	return siz;
}
void dfs(int u,int fa,int sumUP,int sumDOWN,int tot,int len){
	bool leaf=1;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		int v=e[i];
		if(v!=fa&&!vis[v]) leaf=0,dfs(v,u,sumUP+val[v]*(len+1),sumDOWN+tot+val[v],tot+val[v],len+1);
	}
	if(leaf) stk[++top]={sumUP,sumDOWN,len,tot};
}
void solve(int rt){
	get_root(rt,-1,rt,get_size(rt,-1));
	vis[rt]=1;
	top=0;
	for(int i=h[rt];~i;i=ne[i]) if(!vis[e[i]]){ dfs(e[i],rt,val[e[i]],val[e[i]],val[e[i]],1);cut[top]=1;}
	T.clear(1,n,1);
//	cout<<rt<<'\n';
//	for(int i=1;i<=top;i++) cout<<stk[i].len<<' '<<stk[i].sumDOWN<<' '<<stk[i].sumUP<<' '<<stk[i].tot<<'\n';
//	cout<<'\n';
	for(int i=1;i<=top;i++) ans=max(ans,max(stk[i].sumUP+stk[i].tot+val[rt],stk[i].sumDOWN+val[rt]*(stk[i].len+1)));
	for(int i=1;i<=top;){
		int j=i;
		while(!cut[j]) ans=max(ans,T.query(1,n,1,stk[j].len+1)+stk[j].sumDOWN+val[rt]*(stk[j].len+1)),j++;
		ans=max(ans,T.query(1,n,1,stk[j].len+1)+stk[j].sumDOWN+val[rt]*(stk[j].len+1));
		while(!cut[i]) T.insert(1,n,1,stk[i].tot,stk[i].sumUP),i++;
		T.insert(1,n,1,stk[i].tot,stk[i].sumUP),i++;
	}
	T.clear(1,n,1);
	for(int i=top;i>=1;){
		ans=max(ans,T.query(1,n,1,stk[i].len+1)+stk[i].sumDOWN+val[rt]*(stk[i].len+1));
		int j=i-1;
		while(j&&!cut[j]) ans=max(ans,T.query(1,n,1,stk[j].len+1)+stk[j].sumDOWN+val[rt]*(stk[j].len+1)),j--;
		T.insert(1,n,1,stk[i].tot,stk[i].sumUP);i--;
		while(i&&!cut[i]) T.insert(1,n,1,stk[i].tot,stk[i].sumUP),i--;
	}
	for(int i=1;i<=top;i++) cut[i]=0;
	for(int i=h[rt];~i;i=ne[i]) if(!vis[e[i]]) solve(e[i]);
}
void add(int x,int y){ e[idx]=y,ne[idx]=h[x],h[x]=idx++;}
signed main(){
	n=read();
	memset(h,-1,sizeof(h));
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=read(),y=read();
		add(x,y),add(y,x);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=read();
	T.clear(1,n,1);
	solve(1);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}