【Luogu】 P5324 [BJOI2019]删数

最新推荐文章于 2026-01-08 22:28:34 发布

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#算法

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该文描述了一种针对序列操作的问题，通过将序列拆分并利用线段树进行动态维护，解决区间覆盖的计算。文章详细阐述了如何利用线段树的数据结构，维护区间最小值、出现次数以及0的个数，并处理单点和整体修改操作。

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题目解法

发现一个长度为n的序列进行完一次操作后，长度会变成 n-cnt[n]，cnt[n] 为n出现的次数

显然可以把数字为n的数拆成 n,n-1,…,n-cnt[n]+1，然后一个一个删，效果是相同的

这启发我们猜测答案是把 $i\subseteq[1,n]$ 的区间 [ i-cnt[i]+1,i ] 覆盖，答案是 [1,n] 中没有被覆盖的数的个数

证明：

我们可以用上述方法构造出一种这个答案的解，即覆盖到的地方只保留1个数覆盖，其他地方可以被填满
答案 ≥ 这个解，每个未被覆盖的位置必须被覆盖，要么是被它自己，要么是被比它大的数
如果没有被自己或比它大的数覆盖，这个数一定需要改动另一个数从而被覆盖

我们发现全部加+1，-1相当于将覆盖序列整体右移，左移一格

这个可以记录一个偏移量delta维护一下

考虑单点修改时，如果修改的数不在 [1-delta , n-delta] 中，就不进行改动

整个序列修改时，把新的在 [1-delta , n-delta] 中的数对应的区间+1，旧的 -1

考虑维护区间中出现的 0 的个数，区间操作包含区间+1，-1

首先每个数的出现次数一定不会<0

那么如果是+1操作，区间中包含的0的个数为0

如果是-1操作，分类讨论当前区间中最小数是否是1，然后维护一下

这样一来，线段树需要维护，区间最小值，区间最小值出现次数，0的个数，懒标记

另外，1-delta 可能 <0，所以需要把整个序列往右移 MAXN 格

线段树的区间开4倍的 3*MAXN 就够了，可以写完代码自己算一下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N(150100),S(450100),AD(150000);
struct Node{
	int sum0,tag;
	int mn,smn;
}seg[S<<2];
int n,m,a[N],cnt[S],s[S];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
		if(ch=='-')
			RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())
		FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
void pushup(int x){
	seg[x].sum0=seg[x<<1].sum0+seg[x<<1^1].sum0;
	if(seg[x<<1].mn==seg[x<<1^1].mn)
		seg[x].mn=seg[x<<1].mn,seg[x].smn=seg[x<<1].smn+seg[x<<1^1].smn;
	else if(seg[x<<1].mn<seg[x<<1^1].mn)
		seg[x].mn=seg[x<<1].mn,seg[x].smn=seg[x<<1].smn;
	else
		seg[x].mn=seg[x<<1^1].mn,seg[x].smn=seg[x<<1^1].smn;
}
void pushdown(int x){
	if(seg[x].tag>0){
		seg[x<<1].sum0=seg[x<<1^1].sum0=0;
		seg[x<<1].tag+=seg[x].tag,seg[x<<1^1].tag+=seg[x].tag;
		seg[x<<1].mn+=seg[x].tag,seg[x<<1^1].mn+=seg[x].tag;
	}
	if(seg[x].tag<0){
		seg[x<<1].tag+=seg[x].tag,seg[x<<1^1].tag+=seg[x].tag;
		seg[x<<1].mn+=seg[x].tag,seg[x<<1^1].mn+=seg[x].tag;
		if(!seg[x<<1].mn) seg[x<<1].sum0=seg[x<<1].smn;
		if(!seg[x<<1^1].mn) seg[x<<1^1].sum0=seg[x<<1^1].smn;
	}
	seg[x].tag=0;
}
void build(int l,int r,int x){
	if(l==r){
		seg[x].mn=s[l],seg[x].sum0=s[l]==0,seg[x].smn=1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(l,mid,x<<1),build(mid+1,r,x<<1^1);
	pushup(x);
}
void modify(int l,int r,int x,int L,int R,int k){
	if(L<=l&&r<=R){
		seg[x].tag+=k,seg[x].mn+=k;
		if(k==1) seg[x].sum0=0;
		else if(!seg[x].mn) seg[x].sum0=seg[x].smn;
		return;
	}
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(mid>=L) modify(l,mid,x<<1,L,R,k);
	if(mid<R) modify(mid+1,r,x<<1^1,L,R,k);
	pushup(x);
}
int query(int l,int r,int x,int L,int R){
	if(L<=l&&r<=R) return seg[x].sum0;
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1,res=0;
	if(mid>=L) res=query(l,mid,x<<1,L,R);
	if(mid<R) res+=query(mid+1,r,x<<1^1,L,R);
	return res; 
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read(),a[i]+=AD,cnt[a[i]]++;
	for(int i=1;i<S-1;i++)
		s[i-cnt[i]+1]++,s[i+1]--;
	for(int i=1;i<S;i++)
		s[i]+=s[i-1];
	build(1,S-1,1);
	int delta=0;
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++){
		x=read(),y=read();
		int L=1-delta+AD,R=n-delta+AD;
		if(x){
			y=y+AD-delta;
			cnt[y]++;
			int pos1=y-cnt[y]+1;
			if(L<=y&&y<=R) modify(1,S-1,1,pos1,pos1,1);
			int pos0=a[x]-cnt[a[x]]+1;
			if(L<=a[x]&&a[x]<=R) modify(1,S-1,1,pos0,pos0,-1);
			cnt[a[x]]--,a[x]=y;
		}
		else{
			delta+=y;
			L=1-delta+AD,R=n-delta+AD;
			if(y==-1){
				if(cnt[R]) modify(1,S-1,1,R-cnt[R]+1,R,1);
				if(cnt[L-1]) modify(1,S-1,1,L-1-cnt[L-1]+1,L-1,-1);
			}
			if(y==1){
				if(cnt[L]) modify(1,S-1,1,L-cnt[L]+1,L,1);
				if(cnt[R+1]) modify(1,S-1,1,R+1-cnt[R+1]+1,R+1,-1);
			}
		}
		printf("%d\n",query(1,S-1,1,L,R));
	}
	return 0;
}