【Luogu】 P5268 SNOI2017 一个简单的询问

原创已于 2023-01-14 10:46:29 修改 · 182 阅读

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#算法

于 2023-01-13 19:42:37 首次发布

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文章介绍了一种在编程竞赛中处理数学问题的策略，通过拆分式子和借用莫队算法的思想，优化了暴力枚举的解法，降低了时间复杂度。同时，提到了如何使用前缀和技巧来进一步简化问题。

题目描述

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题目解法

解法1

这道题一个暴力的解法是枚举每个权值，然后用莫队暴力维护一下

时间复杂度 $O(a*n\sqrt{n})$ ，a是值域，可以得到80pts

解法2

这道题我们考虑拆分式子

我们可以借用前缀和的思想，把 $get(l,r,x)$ 变成 $get(1,r,x)-get(1,l-1,x)$

那么 $get(l1,r1,x)*get(l2,r2,x)$ 可以变成 $get(1,r1,x)*get(1,r2,x)-get(1,r1,x)*get(1,l2-1,x)-get(1,l1-1,x)*get(1,r2,x)+get(1,l1-1,x)*get(1,l2-1,x)$

于是我们只需要考虑求解 $get(1,k1,x)*get(1,k2,x)$

我们可以借用莫队的思想来优化暴力

让k1和k2都只动 $n\sqrt{n}$ 次，然后维护一下res就可以了

最后再把几个式子合起来就是答案

时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$

这道题的一个启发就是：莫队不一定只是处理区间的问题，还可以借用莫队的思想优化暴力

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N(50100),M(50100);
struct Query{
	int id,l,r,neg;
}query[M<<2];
int n,m,a[N],pos[N];
int cnt1[N],cnt2[N]; 
LL res,ans[M];
inline int read(){
	int FF=0,RR=1;
	char ch=getchar();
	for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
		if(ch=='-')
			RR=-1;
	for(;isdigit(ch);ch=getchar())
		FF=(FF<<1)+(FF<<3)+ch-48;
	return FF*RR;
}
bool cmp(const Query &x,const Query &y){
	if(pos[x.l]^pos[y.l])
		return pos[x.l]<pos[y.l];
	return pos[x.l]&1?x.r<y.r:x.r>y.r;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		a[i]=read();
	int B=sqrt(n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		pos[i]=(i-1)/B+1; 
	m=read();
	for(int i=1,l1,r1,l2,r2;i<=m;i++){
		l1=read(),r1=read(),l2=read(),r2=read();
		query[(i<<2)-3]={i,r1,r2,1};
		query[(i<<2)-2]={i,r1,l2-1,-1};
		query[(i<<2)-1]={i,l1-1,r2,-1};
		query[i<<2]={i,l1-1,l2-1,1};
	}
	sort(query+1,query+(m<<2)+1,cmp);
	for(int k=1,i=0,j=0;k<=m<<2;k++){
		int l=query[k].l,r=query[k].r;
		while(j>r) res-=cnt1[a[j]],cnt2[a[j]]--,j--;
		while(j<r) j++,res+=cnt1[a[j]],cnt2[a[j]]++;
		while(i>l) res-=cnt2[a[i]],cnt1[a[i]]--,i--;
		while(i<l) i++,res+=cnt2[a[i]],cnt1[a[i]]++;
		ans[query[k].id]+=query[k].neg*res;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%lld\n",ans[i]);
	return 0;
}