浅谈对顶堆

一、前言

在做题时遇到了求序列中第k大的值的问题（或是求中位数的问题），面对这种问题，我们通常会想：那我们只要先把整个数组快排一遍不就可以了吗。但是，如果碰到了要求你动态维护第k大的值的话，时间复杂度会大到惊人！所以我们需要一种更好的方法去处理，而这种方法就是对顶堆。

二、正文

我们都知道，堆可以在短时间内将数据维护成单调递增或单调递减的序列，但在它的实现方式——优先队列中，我们没办法进行单点查询。那我们应该怎么办呢？
仔细回想一下优先队列的相关知识，我们可以知道，优先队列虽然不支持任意点访问，但我们可以仅花O(1)的时间查询出堆顶的元素，所以我们可以通过维护对顶堆的两个堆顶元素来进行单调性的维护。
众所周知，如果有两个集合A和B，如果集合A中的最小值比集合B中的最大值还大，那么我们就能知道：集合A中的所有元素都比集合B中的元素大。根据这一方法，我们就可以想到对策：
我们可以弄两个堆，一个是大根堆，一个是小根堆，我们再将假设已经排好序的集合A从第k大的元素和第(k+1)大的元素之间切成两份，分别存在大小根堆中，再根据优先队列的特点可以得知：前k大的元素存在小根堆中，后面的元素存在大根堆中便可解决这个问题。
既然已经知道原理了，那我们就可以很快地想出解题方法：我们首先把第一个数据丢进小根堆里（避免后面出问题），然后，每读入一个数据就将它与小根堆的堆顶元素进行比较，如果比堆顶元素大就把它丢进小根堆里，否则把它丢进大根堆里，再维护一下（限定小根堆里的元素个数为k，如果当前元素个数大于k，就把小根堆的队首元素丢进大根堆里；如果当前元素个数小于k，就把大根堆的队首元素丢进小根堆里），最后小根堆的队首元素就是我们要求的答案。
当然，你也可以先把前k个数据丢进小根堆里，再进行比较，最后维护。当然，你也可以采用别的写法，只要这种做法比较适合当前的题目要求，就可以选择。
核心代码如下：

第1种方法：

int n,k,a[n];  //n为数据的个数（输出的次数），k意义与前言中的k意义相同，a数组存储要比较的序列。
priority_queue <int,vector<int>,less<int> >q1;  //大根堆
priority_queue <int,vector<int>,greater<int> >q2; //小根堆
int main()
{
	q2.push(a[0]);
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		if(a[i]>q2.top()) q2.push(a[i]);
		else q1.push(a[i]);
		while(q2.size()!=k&&!q2.empty()&&i+1>=k)  //维护
		{
			if(q2.size()>k)
			{
				q1.push(q2.top());
				q2.pop();
			}
			if(q2.size()<k&&!q1.empty())
			{
				q2.push(q1.top());
				q1.pop();
			}
		}
	}
	cout<<q2.top();
}

第二种方法：

int n,k,a[n];  //n为数据的个数（输出的次数），k意义与前言中的k意义相同，a数组存储要比较的序列。
priority_queue <int,vector<int>,less<int> >q1;  //大根堆
priority_queue <int,vector<int>,greater<int> >q2; //小根堆
int main()
{
	for(int i=0;i<=k-1;i++)
	{
		q2.push(a[i]);
	}
	for(int i=k;i<=n-1;i++)
	{
		if(a[i]>q2.top()) q2.push(a[i]);
		else q1.push(a[i]);
	}
	while(q2.size()!=k&&!q2.empty())  //维护
	{
		if(q2.size()>k)
		{
			q1.push(q2.top());
			q2.pop();
		}
		if(q2.size()<k&&!q1.empty())
		{
			q2.push(q1.top());
			q1.pop();
		}
	}
	cout<<q2.top();
}

三、例题

光说不练可不行，我们来做一下题巩固一下吧：
原题地址：洛谷P1168 中位数

【题目描述】
给出一个长度为NN的非负整数序列Ai，对于所有1 ≤ k ≤ (N + 1) / 2，输出A1, A1~ A3, …,A1~ A{2k-1}的中位数。即前1,3,5,…个数的中位数。

【输入格式】
第一行为一个正整数N，表示了序列长度。
第二行包含N个非负整数Ai(Ai≤1e9)。

【输出格式】
共(n+1)/2行，第i行为A1，A3，……A{2k-1}的中位数。

【输入样例】
7
1 3 5 7 9 11 6
【输出样例】
1
3
5
6

【说明/提示】
对于20%的数据，N ≤ 100N≤100；
对于40%的数据，N ≤ 3000N≤3000；
对于100%的数据，N ≤ 100000N≤100000。

这题建议大家先思考一下，再去看我的代码。

代码放送：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x;
}
int n,a;
priority_queue <int,vector<int>,less<int> >q1;
priority_queue <int,vector<int>,greater<int> >q2; 
int main()
{
	n=read();
	a=read();
	q2.push(a);
	printf("%d\n",a);
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		a=read();
		if(a>q2.top()) q2.push(a);
		else q1.push(a);
		while(q2.size()!=(i+1)/2)
		{
			if(q2.size()>(i+1)/2)
			{
				q1.push(q2.top());
				q2.pop();
			}
			if(q2.size()<(i+1)/2)
			{
				q2.push(q1.top());
				q1.pop();
			}
		}
		if(i&1)
		{
			printf("%d\n",q2.top());
		}
	}
	return 0;
}

四、结尾

以上就是我对对顶堆的理解，希望我的博客能帮助到大家。再见。