ACM/ICPC 之数论-斐波拉契●卢卡斯数列(HNNUOJ 11589)-优快云博客

本文深入探讨了斐波拉契数列及其与卢卡斯数列的关系，揭示了两者之间的数学规律，包括黄金分割、平方求和等特性。并通过一道例题展示了如何通过给定数列中的一项逆推原始数列的起始值。

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　　看到这个标题，貌似很高大上的样子= =，其实这个也是大家熟悉的东西，先给大家科普一下斐波拉契数列。

斐波拉契数列

　　　　又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……

　　　　在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F（0）=0，F（1）=1，F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）

　　　　在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

斐波拉契数列与黄金分割-----(涉及今天的例题)

　　　　有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）

　　　　1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...

　　　　越到后面，这些比值越接近黄金比.

斐波拉契数列-部分数学规律

　　　　　　　　　　偶数项求和

　　　　　　　　　　平方求和

　　以下正式入题啦~

斐波拉契-卢卡斯数列

　　　　卢卡斯数列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契数列同样的性质。（我们可称之为斐波那契—卢卡斯递推：从第三项开始，每一项都等于前两项之和f(n) = f(n-1)+ f(n-2）。

　　　　这两个数列还有一种特殊的联系（如下表所示），F（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
斐波那契数列F(n)	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…
卢卡斯数列L(n)	1	3	4	7	11	18	29	47	76	123	…
F(n)*L(n)	1	3	8	21	55	144	377	987	2584	6765	…

　　　　类似的数列还有无限多个，我们称之为斐波那契—卢卡斯数列。

　　　　如1，4，5，9，14，23…，因为1，4开头，可记作F[1，4]，斐波那契数列就是F[1，1]，卢卡斯数列就是F[1，3]，斐波那契—卢卡斯数列就是F[a，b]。

与斐波拉契数列的另一个共同性质：　　
中间项的平方数与前后两项之积的差的绝对值是一个恒值

　　　　斐波那契数列：|1*1-1*2|=|2*2-1*3|=|3*3-2*5|=|5*5-3*8|=|8*8-5*13|=…=1

　　　　卢卡斯数列：|3*3-1*4|=|4*4-3*7|=…=5

　　　　F[1，4]数列：|4*4-1*5|=11

　　　　F[2，5]数列：|5*5-2*7|=11

　　　　F[2，7]数列：|7*7-2*9|=31

黄金特征-----（与例题有关）

　　　　斐波那契数列这个值是1最小，也就是前后项之比接近黄金比例最快，我们称为黄金特征

　　　　黄金特征1的数列只有斐波那契数列，是独生数列。卢卡斯数列的黄金特征是5，也是独生数列。

　　　　前两项互质的独生数列只有斐波那契数列和卢卡斯数列这两个数列。

　　应用例题：

　　　　题意：大致就是给定一个斐波拉契-卢卡斯数列中的某一项a_n（题目没有说明，但是这其实就是斐波拉契卢卡斯数列），然后让你求出初始的斐波拉契-卢卡斯数列a₁和a₂的值，并使得a₂尽可能小。

　　　　我用的是数学规律的思路

在一个斐波拉契-卢卡斯数列的无穷大项(记为第m项)，则第m-1项除以m项一定无限接近黄金分割0.618---可以计算倒数第二项的模糊值(设为a)
且m足够大时，(m-1)/m>=0.618
需要注意：在m值较大时，(m-1)/m即便很接近0.618，但m值太大，因此0.618*m得到的模糊值也会有较大误差，所以需要a++直到找到最适合的前两项
上一点注意的详细公式是：小于两倍的sqrt(n)。

 1 //斐波拉契-卢卡斯数列
 2 //Memory 1100 K,Time: 234 Ms
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 using namespace std;
 8 
 9 #define INF 0x3f3f3f3f
10 
11 int m1,m2;    //让第二项最小的初始两项
12 
13 //计算初始两项并刷新最适合的m1，m2
14 void compute(int a,int b,int t)
15 {
16     while(t <= a && t >= 1)
17     {
18         b = a;    
19         a = t;
20         t = b - a;
21     }
22     if(m2 > b)
23     {
24         m1 = a;
25         m2 = b;
26     }
27 }
28 
29 int main()
30 {
31     int T,n;
32     scanf("%d",&T);
33 
34     while(T--)
35     {
36         int a,t;
37         scanf("%d",&n);
38         a = (int)(0.618*n)-1;    //倒数第二项模糊值
39 
40         m1 = m2 = INF;
41         int i = -1;
42         while(a+(++i) <= n && i <= (int)2*sqrt(n))    //倒数第二项小于最后一项，且次数小于2*sqrt(n)
43         {
44             compute(a+i,n,n-a-i);
45         }
46 
47         printf("%d %d\n",m1,m2);
48     }
49 
50     return 0;
51 }