HDU 2899 Strange fuction 牛顿迭代法 || 二分

题目：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2899

题意：

给定方程 $F(x) = 6 * x^7+8*x^6+7*x^3+5*x^2-y*x (0 <= x <=100)$，求解$F(x)$在定义域内的最小值

思路：

牛顿迭代法可解，求出导函数的零点。用二分法求的话，求导之后可以发现，函数的导函数在定义域内是单调的，那么这意味着$F(x)$的最小值最多有三种可能，$min(f(0), f(100),f(x))$,这个是导函数的零点，可能不存在，因此二分求出导函数的零点，取三者中的最小值即可，但就这个题而言，经过分析可以发现，导函数零点处函数一定是最小值。最后还有一个很久之前我写的代码，每次取十个值，把区间分成十一个区间，找到这十个值之中的最小值，用这个最小值两侧的区间作为当前区间，接着十一分，知道求出答案，这个方法大概是意淫出来的。。。
牛顿迭代法：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1000 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-8;
double y;
double ddf(double x)
{
    return 42*6*pow(x, 5) + 48*5*pow(x, 4) + 21*2*pow(x, 1) + 10;
}
double df(double x)
{
    return 42*pow(x, 6) + 48*pow(x, 5) + 21*pow(x, 2) + 10*pow(x, 1) - y;
}
double f(double x)
{
    return 6*pow(x, 7) + 8*pow(x, 6) + 7*pow(x, 3) + 5*pow(x, 2) - y*x;
}
double newton_iteration(double x)
{
    int tot = 0;
    while(fabs(df(x)) > eps)
    {
        x = x - df(x) / ddf(x);
        if(++tot > 50) return -1;
    }
    return x;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lf", &y);
        double ans = INF;
        for(int i = 0; i <= 100; i++)
        {
            double tmp = newton_iteration(i);
            if(tmp >= 0 && tmp <= 100)
            {
                ans = min(ans, f(tmp));
            }
        }
        printf("%.4f\n", ans);
    }
    return 0;
}

二分法：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const double eps = 1e-8;

double y;
double df(double x)
{
    return 42*pow(x, 6) + 48*pow(x, 5) + 21*pow(x, 2) + 10*pow(x, 1) - y;
}
double f(double x)
{
    return 6*pow(x, 7) + 8*pow(x, 6) + 7*pow(x, 3) + 5*pow(x, 2) - y*x;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lf", &y);
        double l = 0.0, r = 100.0, x = -1;
        for(int i = 1; i <= 100; i++)
        {
            double mid = (l + r) / 2;
            if(df(mid) >= 0) x = mid, r = mid;
            else l = mid;
        }
        double ans = 1e9;
        if(fabs(df(x) - 0) < eps) ans = min(ans, f(x));
        //ans = min(ans, min(f(0), f(100)));
        printf("%.4f\n", ans);
    }
    return 0;
}

意淫的方法：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

const double eps = 1e-8;
double y;
struct node
{
    double i, d;
}s[20];
double ans(double x)
{
    return 6*x*x*x*x*x*x*x + 8*x*x*x*x*x*x + 7*x*x*x + 5*x*x - y*x;
}
void ser()
{
    double l = 0.0, r = 100.0;
    double res;
    for(int i = 0; i < 100; i++)
    {
        for(int j = 0; j <= 10; j++)
        {
            s[j].i = (r - l) * j / 10 + l;
            s[j].d = ans(s[j].i);
        }
        double tmp = s[0].d;
        for(int j = 1; j <= 10; j++)
            if(tmp - s[j].d > eps) tmp = s[j].d;
        res = tmp;
        int tmp1;
        for(int j = 0; j <= 10; j++)
            if(fabs(tmp - s[j].d) < eps) tmp1 = j;

        if(tmp1 == 0) l = s[0].i, r = s[1].i;
        else if(tmp1 == 10) l = s[9].i, r = s[10].i;
        else l = s[tmp1-1].i, r = s[tmp1+1].i;
    }
    printf("%.4f\n", res);
}


int main()
{
    int t;

    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lf", &y);
        ser();
    }
    return 0;
}