UVA 12295 Optimal Symmetric Paths 最短路求方案数

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本文介绍了一种解决特定图论问题的算法——寻找一个n*n矩阵中关于副对角线对称的最短路径及其方案数。通过将对称位置的值相加并使用SPFA算法求解，适用于竞赛编程中的最短路径问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：http://acm.hust.edu.cn/vjudge/problem/viewProblem.action?id=23587

题意：给一个n * n的矩阵，每个方格中有一个数字，从左上角走到右下角，且路径必须关于副对角线对称，求使路线上数字和最小的方案数

思路：既然要关于副对角线对称，那么可以把关于副对角线对称的方格的值加到一起去，这样就可以求从起点到副对角线上的点的最短路，展开的话就是从左上角到右下角对称的最短路，遍历副对角线的点找到最短路，再遍历一遍加上所有等于最短路的方案数。此题还可以用递推做

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <functional>
using namespace std;

const int N = 10010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1000000009;
int n;
int arr[110][110];
int dx[] = {0, 0, -1, 1}, dy[] = {-1, 1, 0, 0};
int cnt, head[N];
int dis[N], num[N];
bool vis[N];
struct node
{
    int to, cost, next;
} g[N*100];
void add_edge(int v, int u, int cost)
{
    g[cnt].to = u, g[cnt].cost = cost, g[cnt].next = head[v], head[v] = cnt++;
}

void spfa(int s)
{
    queue<int> que;
    memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    memset(num, 0, sizeof num);
    que.push(s);
    dis[s] = 0;
    num[s] = 1;
    vis[s] = true;
    while(! que.empty())
    {
        int v = que.front();
        que.pop();
        vis[v] = false;
        for(int i = head[v]; i != -1; i = g[i].next)
        {
            int u = g[i].to;
            if(dis[u] > dis[v] + g[i].cost) //更新最短路时，要把方案数也更新
            {
                dis[u] = dis[v] + g[i].cost;
                num[u] = num[v];
                if(! vis[u])
                    vis[u] = true, que.push(u);
            }
            else if(dis[u] == dis[v] + g[i].cost) //跟目前最短路径相等时，把方案数累加
                num[u] = (num[u] + num[v]) % MOD;
        }
    }
}

void solve()
{
    cnt = 0;
    memset(head, -1, sizeof head);
    for(int i = 0; i < n - 1; i++) //把对称部分加到一起
        for(int j = 0; j < n - i - 1; j++)
            arr[i][j] += arr[n-1-j][n-1-i];
    for(int i = 0; i < n; i++) //建图连边
        for(int j = 0; j < n - i; j++)
                for(int k = 0; k < 4; k++)
                {
                    int nx = i + dx[k], ny = j + dy[k];
                    if(nx >= 0 && ny >= 0 && nx + ny <= n - 1)
                        add_edge(i * n + j, nx * n + ny, arr[nx][ny]);
                }
    spfa(0);
    int i = 0, j = n - 1, tmp = INF, ans = 0;
    while(j >= 0) //求最小的代价
    {
        tmp = min(tmp, dis[i*n+j]);
        i++, j--;
    }
    i = 0, j = n - 1;
    while(j >= 0) //累加最小代价的方案数
    {
        if(dis[i*n+j] == tmp)
            ans = (ans + num[i*n+j]) % MOD;
        i++, j--;
    }
    printf("%d\n", ans);
}
int main()
{
    while(scanf("%d", &n), n)
    {
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < n; j++)
                scanf("%d", &arr[i][j]);
        solve();
    }
    return 0;
}