2011-2012 Waterloo Local Contest 24 September：E题（高斯消元，状压）

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原文链接：http://www.cnblogs.com/naturepengchen/articles/4311920.html

本文介绍了一种使用高斯消元法解决和谐矩阵问题的方法。通过矩阵元素编号与状态压缩技术，构建并求解一个特殊的线性方程组，最终得到满足特定条件的矩阵。文章详细解释了解题思路与步骤，并提供了完整的代码实现。

2015-03-03 20:44:14

Problem E: Harmonious Matrices

思路：这道题的模型是典型的高斯消元。

　　解法1：经典做法，类似poj1222，给矩阵的每个元素编号，1～n×m，然后建立1600*1600的矩阵，直接高斯消元解。效率较低。

　　解法2：将矩阵的第一行设为x1，x2，x3.....xm，然后发现由第一行可以确定第二行，

　　　　第二行的元素依次：x1^x2 , x1^x2^x3 , x2^x3^x4 , .... , xm-1^xm，确定完第二行后，第一行的所有元素显然符合了要求，但是第二行不一定。

　　　　再确定第三行，确定完后，第二行符合要求，第三行则不一定。

　　　　由此，我们类推到n+1行，这样所有n行的所有位置都符合了要求，但是多出了这第n+1行...

　　　　仔细思考，第n+1行显然是多余的，应该不存在！所以这行所有元素都是0。

　　　　那么，如何表示某个元素是xa1^xa2^...^xak..这种形式呢，可以考虑用状压来处理。这样以来，矩阵的第一行就要初始化成：2^(m-1)，2^(m-2) ,..... 2^0

　　　　※：现在，我们获得了第n+1行的数，比如：1101 , 0111 , 0011 , 0001

　　　　　　表示：x1^x2^x4 = 0, x2^x3^x4 = 0, x3^x4 = 0 , x4 = 0

　　　　　　这可以用高斯消元来解决。解出x1，x2，x3，x4，由于题目要求尽可能非全0，所以自由元令为1。

　　　　　　最后把解出的各个x，带入到之前求出的矩阵中即可。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cmath>
 5 #include <vector>
 6 #include <map>
 7 #include <set>
 8 #include <stack>
 9 #include <queue>
10 #include <string>
11 #include <iostream>
12 #include <algorithm>
13 using namespace std;
14 
15 #define MEM(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
16 #define REP(i,n) for(int i=1;i<=(n);++i)
17 #define REV(i,n) for(int i=(n);i>=1;--i)
18 #define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);++i)
19 
20 typedef long long ll;
21 
22 int T;
23 int n,m;
24 ll pw[50];
25 ll mx[50][50];
26 ll v[50],x[50];
27 
28 void Gauss(){
29     for(int i = 1,col = 1; col <= m && i <= m; ++i,++col){ //i:当前行,col:当前列
30         int k = -1;
31         FOR(j,i,m) if(v[j] & pw[m - col + 1]){
32             k = j;
33             break;
34         }
35         if(k == -1){
36             x[col] = 1; //自由元
37             --i;
38             continue;
39         }
40         swap(v[i],v[k]);
41         FOR(j,i + 1,m) if(v[j] & pw[m - col + 1]) v[j] ^= v[i];
42     }
43 }
44 
45 void Print(){
46     REP(i,n) REP(j,m){
47         int tmp = 0;
48         REP(o,m) if(mx[i][j] & pw[m - o + 1]) tmp ^= x[o];
49         printf("%d%c",tmp,j == m ? '\n' : ' ');
50     }
51 }
52 
53 void Solve(){
54     MEM(x,0); MEM(mx,0);
55     REP(i,40) pw[i] = (1LL << (i - 1));
56     REP(i,m) mx[1][i] = pw[m - i + 1];
57     REP(i,n) REP(j,m)   mx[i + 1][j] = mx[i - 1][j] ^ mx[i][j - 1] ^ mx[i][j] ^ mx[i][j + 1];
58     REP(i,m) v[i] = mx[n + 1][i];
59     Gauss();
60     //获得解
61     REV(i,m){ //若当消元
62         int k = -1; //k为主元位置
63         FOR(j,i,m) if(v[i] & pw[m - j + 1]){
64             k = j;
65             break;
66         }
67         if(k == -1) continue;
68         x[k] = 0;
69         FOR(j,k + 1,m) if(v[i] & pw[m - j + 1]) x[k] ^= x[j];
70     }
71     Print();
72 }
73 
74 int main(){
75     scanf("%d",&T);
76     REP(tt,T){
77         scanf("%d%d",&n,&m);
78         Solve();
79     }
80     return 0;
81 }

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