树上差分与二分搜索-优快云博客

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题目背景

公元 2044 年,人类进入了宇宙纪元。

题目描述

公元 2044 年，人类进入了宇宙纪元。

L 国有

小 P 掌管一家物流公司，该公司有很多个运输计划，每个运输计划形如：有一艘物流飞船需要从 $uiu_iui 号星球沿最快的宇航路径飞行到 viv_ivi 号星球去。显然，飞船驶过一条航道是需要时间的，对于航道 jjj ，任意飞船驶过它所花费的时间为 tjt_jtj ，并且任意两艘飞船之间不会产生任何干扰。$

为了鼓励科技创新， L 国国王同意小 P 的物流公司参与 L 国的航道建设，即允许小P 把某一条航道改造成虫洞，飞船驶过虫洞不消耗时间。

在虫洞的建设完成前小 P 的物流公司就预接了

如果小 P 可以自由选择将哪一条航道改造成虫洞，试求出小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间是多少？

输入输出格式

输入格式：

第一行包括两个正整数

接下来 $ai,bia_i, b_iai,bi 和 tit_iti ，表示第 iii 条双向航道修建在 aia_iai 与 bib_ibi 两个星球之间，任意飞船驶过它所花费的时间为 tit_iti 。数据保证 1≤ai,bi≤n1 \leq a_i,b_i \leq n1≤ai,bi≤n 且 0≤ti≤10000 \leq t_i \leq 10000≤ti≤1000 。$

接下来 $uju_juj 和 vjv_jvj ，表示第 jjj 个运输计划是从 uju_juj 号星球飞往 vjv_jvj 号星球。数据保证 1≤ui,vi≤n1 \leq u_i,v_i \leq n1≤ui,vi≤n$

输出格式：

输出文件只包含一个整数，表示小 P 的物流公司完成阶段性工作所需要的最短时间。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

输出样例#1： 复制

说明

所有测试数据的范围和特点如下表所示

请注意常数因子带来的程序效率上的影响。

【思路分析】

首先了解一下题目是什么意思：

给你一棵树，一些路径，让你求在去掉一条边权的情况下，最长路径长度的最小值。

当我第一次看到这道题时，我第一反应想到的是点分治，然后发现有一个删除一条边权的条件，然后就发现有点毒瘤了，看了别人思路之后发现需要用树上差分，然后就开始学树上差分（真的菜啊。。。），突然发现树上差分好像很妙妙的样子，然后顿时人生明亮了起来。（不会树上差分，看这里！！！）

看到最大值的最小情况，我们会很熟悉地想到二分答案，没错我们就二分答案。

我们每次二分最长路径最小值为k的情况，然后我们就要在所有路径中寻找满足条件的路径，不难发现如果当前边权w>=max-k（最大路径都满足，则其余路径均满足），并且w这条边在所有比k大的路径上，那么我们就发现当前k满足情况。

那么我们怎么标记大于k的路径呢？这里就要用到我们的树上差分了，对于一段路径，起点为a，终点为b，取其lca，则我们统计树上前缀和，cf[a]++，cf[b]++，cf[lca]-=2。这样我们在算这条路径上的点的时候，就会记录其被大于k的路径覆盖过一次。

然后生活美妙，人生明朗。。。

最后不禁吐槽一下，为什么洛谷上开O2，比不开还慢？？？蛤蛤蛤？？？我怕是吸了假氧气。。。

以图为证：

【代码实现】

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 #define dd(i) dis[a[i]]+dis[b[i]]-dis[lca[i]]*2
 5 using namespace std;
 6 const int maxn=3e5+5;
 7 int top[maxn],fa[maxn],mxson[maxn],siz[maxn],dep[maxn],head[maxn],id[maxn],a[maxn],b[maxn],lca[maxn],dis[maxn],ww[maxn],cf[maxn];
 8 struct sd{
 9     int to,next,w;
10 }edge[maxn*2];
11 int cnt,n,m,mx1,mx2;
12 void add(int from,int to,int w1)
13 {
14     edge[++cnt].to=to;
15     edge[cnt].next=head[from];
16     edge[cnt].w=w1;
17     head[from]=cnt;
18 }
19 void dfs(int v,int ff,int deep)
20 {
21     id[++cnt]=v,fa[v]=ff,dep[v]=deep,siz[v]=1;
22     int MS=0,MX=0;
23     for(int i=head[v];i!=0;i=edge[i].next)
24     {
25         int to=edge[i].to;
26         if(to!=ff)
27         {
28             ww[to]=edge[i].w;
29             dis[to]=dis[v]+ww[to];
30             dfs(to,v,deep+1);
31             if(MX<siz[to]) MX=siz[to],MS=to;
32             siz[v]+=siz[to];
33         }
34     }
35     mxson[v]=MS;
36 }
37 void dfs2(int v,int tt)
38 {
39     top[v]=tt;
40     if(!mxson[v]) return;
41     dfs2(mxson[v],tt);
42     for(int i=head[v];i!=0;i=edge[i].next)
43     {
44         if(edge[i].to!=fa[v]&&edge[i].to!=mxson[v])
45             dfs2(edge[i].to,edge[i].to);
46     }
47 }
48 int LCA(int a,int b)
49 {
50     while(top[a]!=top[b])
51     {
52         if(dep[top[a]]>dep[top[b]]) a=fa[top[a]];
53         else b=fa[top[b]];
54     }
55     if(dep[a]<dep[b]) return a;
56     else return b;
57 }
58 bool check(int k)
59 {
60     memset(cf,0,sizeof(cf)),cnt=0;
61     for(int i=1;i<=m;i++)
62     if(dd(i)>k) cf[a[i]]++,cf[b[i]]++,cf[lca[i]]-=2,cnt++;
63     for(int i=n;i>=1;i--)
64     {
65         cf[fa[id[i]]]+=cf[id[i]];
66         if(ww[id[i]]>=mx2-k&&cf[id[i]]==cnt) return true;
67     }
68     return false;
69 }
70 int main()
71 {
72     scanf("%d%d",&n,&m);
73     for(int i=1;i<n;i++)
74     {
75         int a1,b1,w1;
76         scanf("%d%d%d",&a1,&b1,&w1);
77         add(a1,b1,w1);add(b1,a1,w1);
78         mx1=max(mx1,w1);
79     }
80     cnt=0,dfs(1,0,1),dfs2(1,1);
81     for(int i=1;i<=m;i++)
82     {
83         scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
84         lca[i]=LCA(a[i],b[i]);
85         mx2=max(dd(i),mx2);
86     }
87     int l=mx2-mx1,r=mx2+1,ans;
88     while(l<=r)
89     {
90         int mid=(l+r)>>1;
91         if(check(mid)) r=mid-1,ans=mid;
92         else l=mid+1;
93     }
94     printf("%d",ans);
95     return 0;
96 }