<think>
我们正在解决一个三维刚体的离散旋转对称性自动识别问题。使用trimesh库，并只考虑全局对称（即刚体变换，不考虑纹理和颜色）。
旋转对称性：指物体绕某一轴旋转一定角度后与自身重合的特性。离散旋转对称性意味着旋转角度是360°的约数（如90°,180°等）。
思路：
1. 输入：一个三维网格（trimesh.Trimesh对象）
2. 目标：识别网格的离散旋转对称轴（可能不止一个）和对应的旋转角度（阶数，即旋转360°重合的次数）。
步骤：
a. 预处理网格：确保网格质量，比如去除重复顶点、合并接近的顶点等。trimesh提供了相应的工具。
b. 计算中心：通常使用网格的质心作为旋转中心（假设物体是均匀的）。
c. 旋转对称性的判定：对于一个给定的旋转轴（方向向量）和阶数n（即旋转360/n度），我们旋转网格后，计算旋转后的网格与原网格的差异（距离）。如果差异很小，则认为具有对称性。
然而，问题在于我们不知道对称轴的方向。因此，我们需要搜索可能的旋转轴方向。由于三维空间中方向是连续的，我们需要离散化方向（比如在球面上均匀采样方向向量）。
d. 离散化旋转轴：我们可以使用斐波那契球面采样（Fibonacci sphere sampling）来生成均匀分布在球面上的点（作为旋转轴方向）。或者，我们可以利用网格本身的几何特征（如主成分分析PCA）来获取可能的主要方向，但为了全面，我们可以结合均匀采样和主方向。
e. 对每个候选旋转轴方向，测试不同的旋转阶数（例如n=2,3,4,5,6,7,8等，因为通常对称阶数不会太高）。注意：旋转360/n度后，再旋转直到旋转360度，共旋转n次回到原位。所以，我们只需要旋转一次（360/n度）然后比较。
f. 比较旋转前后的网格：这里我们使用点到点的距离（Hausdorff距离）或者更高效的方法，如使用顶点的均方根误差（RMS）。但是，网格的顶点数可能不同（因为旋转后顶点位置改变，但拓扑不变，实际上顶点对应关系没有？），所以我们需要一个鲁棒的比较方法。
我们可以考虑：将原网格和旋转后的网格固定，然后计算两个网格之间的距离（例如，对于原网格的每个顶点，找到旋转后网格的最近点，然后计算距离的平均值或最大值）。trimesh中提供了距离计算函数：`trimesh.proximity.ProximityQuery`。
g. 设定一个阈值：如果距离小于阈值，则认为该旋转操作是对称操作。
h. 优化：由于旋转对称轴通常与惯性主轴重合，我们可以先计算网格的主惯性轴（通过PCA得到），然后主要测试这些主方向（以及它们的反向）和均匀采样的方向。另外，对称阶数通常不会太高（比如n=2到10），所以测试的阶数可以限制在2到某个最大值（如24）。
i. 对称轴和阶数的确定：对于每个候选轴和阶数，我们测试旋转360/n度后网格与原网格的差异。注意，如果一个物体具有n阶旋转对称性，那么它也具有k阶对称性（其中k是n的约数）？但通常我们关心的是最大阶数。因此，当我们发现一个轴有n阶对称性，我们也要检查是否具有更高阶的对称性（比如，如果旋转90度对称，则180度也对称，但我们希望记录最大阶数）。
j. 避免重复：同一个旋转对称轴可能以不同的方向向量表示（比如正反方向），我们应将其视为同一个轴。
k. 输出：所有找到的旋转对称轴（方向向量）和对应的最大阶数。
考虑到计算效率：均匀采样方向向量需要很多次测试，我们可以分阶段进行：
阶段1：使用网格的PCA得到三个主轴（以及反向，共6个方向）进行测试。
阶段2：如果阶段1没有找到对称轴，或者希望找到更多对称轴，则进行均匀采样（例如100个方向）进行测试。
但是，注意：一个物体可能有多个旋转对称轴（如立方体有三个4阶轴，四个3阶轴，六个2阶轴）。我们的目标是找到所有离散旋转对称轴（以及对应的阶数）。
具体步骤：
1. 预处理网格：
- 清除无效数据（如NaN顶点）
- 合并重复顶点
- 确保面片方向一致（使用`mesh.fix_normals()`？）但对称性识别可能不需要，因为只涉及顶点位置。
2. 计算网格的质心（作为旋转中心）：
- `center = mesh.center_mass` 或者 `mesh.centroid`？注意：`center_mass`是质心（需要均匀密度），`centroid`是几何中心。对于对称性，几何中心可能更合适？但通常两者接近。我们用质心。
3. 获取网格的顶点坐标数组：`vertices = mesh.vertices`
4. 确定候选旋转轴方向：
- 首先，使用PCA得到三个主轴（特征向量）：
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=3)
pca.fit(vertices)
axes = pca.components_ # 三个主轴，每个是单位向量
- 然后，我们考虑这6个方向（每个轴的正反方向）
- 另外，为了全面，我们可以加上均匀采样的方向（例如使用斐波那契球面采样，采样100个方向）
5. 候选阶数：n_list = [2,3,4,5,6,7,8,9,10,12] （根据需要可以扩展）
6. 对于每个候选轴（方向向量）：
axis = axis / np.linalg.norm(axis) # 归一化
对于每个候选阶数n：
angle = 2 * np.pi / n # 弧度制
# 构建旋转矩阵（绕axis旋转angle）
rotation_matrix = trimesh.transformations.rotation_matrix(angle, axis, point=center)
# 旋转顶点：注意旋转矩阵是4x4的齐次变换矩阵，我们需要只旋转顶点（平移部分设为0？）但旋转中心是质心，所以需要完整的变换。
# 使用apply_transform方法
rotated_mesh = mesh.copy()
rotated_mesh.apply_transform(rotation_matrix)
# 现在，计算原网格和旋转后网格的差异
# 由于网格是刚体变换，顶点数相同，我们可以直接计算顶点位移（但注意：旋转后顶点顺序不变吗？不变！因为我们是对整个网格应用相同的变换，所以顶点顺序不变）
# 但是，实际上，由于旋转后顶点位置改变，但顶点顺序仍然对应，所以可以直接比较对应顶点的位置？
# 注意：如果网格不是完全对称，或者由于数值误差，顶点顺序对应的点可能不是最近点。所以更稳健的做法是计算两个网格之间的距离（最近点距离）
# 使用trimesh.proximity.signed_distance？或者使用两个网格之间的Hausdorff距离？
# 我们可以计算原网格顶点到旋转后网格表面的距离（平均或最大值）
# 由于旋转后的网格和原网格在对称的情况下应该重合，因此距离应该为0（数值误差范围内）
# 方法：使用ProximityQuery
from trimesh.proximity import ProximityQuery
query = ProximityQuery(rotated_mesh)
# 计算原网格顶点到旋转后网格表面的距离（符号距离或绝对值距离？这里用绝对值距离就够了）
dist, _ = query.signed_distance(mesh.vertices)
# 符号距离：内部为负，外部为正。但对称性要求外部点到外部点，所以距离应该很小（绝对值）
# 我们取绝对值的平均值（或者最大值）作为误差
error = np.mean(np.abs(dist))
# 或者使用Hausdorff距离（最大距离）的一部分，但平均距离已经能反映整体情况
# 设定阈值：这个阈值需要根据网格的大小来确定。我们可以用网格的包围盒大小作为参考。
bbox = mesh.bounding_box.bounds
extents = bbox[1] - bbox[0]
max_extent = max(extents)
threshold = 1e-3 * max_extent # 例如，千分之一的包围盒最大边长
if error < threshold:
记录该轴和阶数n
7. 但是，注意：同一个轴，可能会有多个阶数满足（比如，如果n=4满足，那么n=2也一定满足），所以我们希望记录最大阶数。
因此，对于每个轴，我们测试阶数n_list，然后找出满足条件的最大的n（或者说，在n_list中最大的满足条件的n，但注意n_list可能没有列出所有约数，比如n=12的约数n=6可能不在列表里，但我们测试了n=6吗？）
所以，我们可以在每个轴测试时，从大到小测试阶数（这样找到的第一个满足条件的阶数就是最大的整数阶数？不一定，因为最大阶数不一定在n_list中最大，比如最大阶数是12，但n_list中有12，所以从大到小测试，第一个满足的阶数就是12？但可能有更高的阶数没有被测试？所以我们需要测试所有阶数然后取最大？但阶数测试范围是有限的，我们只能取我们测试范围内满足条件的最大阶数。
8. 另外，由于对称性，同一个旋转对称轴只需要记录一次（以及它的最大阶数）。
9. 我们还需要考虑恒等变换（旋转0度）总是成立的，所以我们需要排除n=1（但我们的候选阶数从2开始，没有问题）。
10. 最后，输出所有找到的旋转对称轴（方向向量）和对应的阶数（每个轴的最大阶数）。
注意：旋转对称轴必须通过质心（我们旋转中心设为质心），这是合理的。
但是，计算量可能比较大，特别是均匀采样方向很多时。因此，我们可以先测试PCA轴，如果找到了对称轴，并且我们期望可能还有更多的对称轴（比如正多面体有多个对称轴），那么我们再测试均匀采样的方向。或者，我们可以只测试PCA轴，因为对于规则物体，对称轴通常就是惯性主轴。
然而，有些对称轴可能不是主轴（比如正四面体的旋转轴不是惯性主轴？实际上，正四面体的旋转对称轴通过顶点和对面面的中心，而它的惯性主轴是否重合？需要验证。但通常，我们计算PCA得到的轴应该是主轴方向。对于高度对称的物体，PCA轴应该与对称轴重合。所以我们先测试PCA轴可能是足够的。
但是，为了保险，我们可以同时测试PCA轴和均匀采样的方向（但采样数量可以设置，比如100个方向）。对于对称性较高的物体（如正多面体），我们可以通过PCA轴找到一部分，然后通过均匀采样找到其他对称轴。
11. 输出格式：一个列表，每个元素是一个元组（axis, n），其中axis是单位向量，n是阶数。
12. 优化：在测试一个轴时，如果我们发现某个阶数n满足对称，那么该轴的阶数k（k整除n）也一定满足，但我们不需要再测试这些更小的阶数（因为我们只关心最大阶数）。所以，我们可以从大到小测试阶数（即n_list按降序排列），这样当我们找到一个满足条件的阶数，就可以认为这是该轴的最大阶数（在n_list范围内）？但是，可能该轴对称的阶数是12，而我们的n_list中有12，那么当我们测试12时就满足，然后记录12，跳过该轴的其他阶数测试（因为最大阶数已经找到）。注意：阶数必须是整数，而且12的约数（如6,4,3,2）我们不需要再测试，因为我们只关心最大阶数。
但是，注意：一个轴的最大阶数可能大于12，所以我们需要设置一个足够大的最大阶数（比如24）。如果n=24满足，那么我们就记录24。
因此，调整：候选阶数列表按降序排列，这样对于每个轴，一旦找到第一个满足条件的阶数，那么这个阶数就是该轴的最大阶数（在测试范围内），然后跳出该轴的阶数测试循环。
注意：这个算法可能会漏掉一些阶数（如果最大阶数不在候选列表中，比如最大阶数是36，但我们只测试到24，那么我们就找不到36阶，只能找到36的约数并且在我们列表中的最大阶数（比如24））。因此，我们需要权衡候选阶数的范围和计算时间。
另一种思路：对于一个给定的轴，我们可以用二分法搜索最大阶数？但旋转对称阶数必须是整数，而且通常较小（不超过24），所以直接测试连续的整数阶数（从2到24）也可以。但这样可能会测试很多阶数。因此，我们使用一个预定义的有序列表（降序）[24,20,18,16,15,12,10,8,6,5,4,3,2]（列举一些常见的阶数，按降序排列）。
但是，阶数可以是任意整数（理论上），但实践中，我们只关心较小的阶数（比如不超过24）。因此，我们可以设置阶数测试列表为range(24,1,-1)（即24,23,...,2），但这样测试24次每个轴。但24次乘以方向数（比如100个方向）就是2400次旋转和距离计算，计算量较大。
改进：利用对称阶数的性质（必须是360°的约数），但更重要的是，如果一个轴具有n阶对称性，那么旋转360/n度后网格重合。但如果我们测试了较大的阶数（如24）满足，那么就不需要再测试它的约数（因为最大阶数已经是24）。但是，如果我们测试n=24满足，那么该轴的最大阶数至少为24，但可能更高（比如48）？所以我们无法直接知道最大阶数。因此，我们只能测试到我们设定的最大阶数（比如max_n=24），然后记录该阶数（24）。但这样，如果物体具有48阶对称性，我们只能得到24阶（如果我们没有测试48阶）。所以，我们需要设定一个合理的最大阶数（比如24或36）。
因此，为了简单，我们设置一个最大阶数max_n（例如24），然后测试从2到max_n的所有整数阶数？但这样计算量过大（每个轴测试23次）。我们可以通过以下方式优化：
- 对于每个轴，先测试较大的阶数（因为高阶对称性包含低阶，但反过来不成立），一旦测试到某个阶数满足，则记录该阶数（作为该轴的阶数），然后跳出该轴的测试（因为已经找到最大阶数？不对，因为可能还有更大的阶数满足，但我们是从大到小测试的，所以我们先测试24，再测试23，...，所以当我们测试到第一个满足条件的阶数k，那么该轴的阶数至少为k，但可能更高？可是我们测试了从大到小的阶数，最大的阶数已经测试过了？所以如果我们按降序测试，那么第一个满足条件的阶数就是该轴的最大阶数（在max_n范围内）？但是，有可能一个轴的最大阶数是36，而我们没有测试36（因为max_n=24），那么我们就会错过36，而测试到24（满足）？因为36阶对称一定包含24阶对称（因为24整除36）？不对，旋转36度后重合，并不一定意味着旋转24度后重合（除非24是36的约数，即36度旋转的1/36，而24度相当于24*(360/36)=240度？不对，重新理解：如果物体具有36阶对称，那么旋转10度（360/36）后重合。那么旋转20度（相当于2个10度）也重合，旋转30度（3个10度）也重合，等等。因此，一个具有36阶对称的轴，必然具有阶数为36的约数的对称性（如2,3,4,6,9,12,18,36）。所以如果我们测试24阶（旋转15度），那么它不会重合（除非24也是36的约数？但24不是36的约数），所以不会满足。因此，我们必须测试36阶才能发现36阶对称。所以，我们的方法（测试到max_n=24）会漏掉36阶。
因此，我们必须测试到足够大的阶数（max_n）才能确保捕捉到。但通常，物体的旋转对称阶数不会太高（例如，分子结构可能很高，但三维网格通常不会太高），所以max_n=24或36可能足够。
但为了平衡计算，我们设置max_n=24，然后阶数测试列表为[24, 18, 16, 12, 10, 8, 6, 4, 3, 2]（这些是常见的阶数，按降序排列）。这样每个轴测试10次。为什么跳过一些阶数？因为我们假设对称阶数在这些值中。如果不在，则可能错过。但如果我们想要全面，可以测试所有整数阶数（2到max_n），但计算量大。
折中：对于每个轴，测试阶数列表为：range(max_n, 1, -1) （即从24到2），这样测试23次每个轴。如果方向采样100个轴，则测试2300次。每次测试包含一次网格旋转和一次最近点查询（计算量较大）。所以需要权衡。
另一种思路：利用旋转对称性的性质，可以先寻找对称性明显的特征（如顶点、边、面）的变换，但这比较复杂。
基于计算效率，我们建议：
- 如果网格顶点较少，可以测试所有阶数（2到max_n）和较多的方向。
- 如果网格顶点较多，则先测试PCA轴和常见阶数。
这里，我们先按照常见阶数列表（降序）测试，方向采样包括PCA轴（6个方向）和均匀采样（例如20个方向，总共26个方向）。常见阶数列表：常见的旋转对称阶数：24,20,18,16,12,10,8,6,5,4,3,2（按降序排列，总共12个阶数）。这样测试次数：26*12=312次，在可接受范围内。
13. 均匀采样方向：使用斐波那契球面采样。
代码实现斐波那契球面采样：
```python
def fibonacci_sphere(samples=20):
points = []
phi = np.pi * (3.0 - np.sqrt(5.0)) # 黄金角
for i in range(samples):
y = 1 - (i / (samples - 1)) * 2 # y从1到-1
radius = np.sqrt(1 - y*y)
theta = phi * i
x = np.cos(theta) * radius
z = np.sin(theta) * radius
points.append([x, y, z])
return np.array(points)
```
14. 将PCA轴方向（6个）和均匀采样的方向（20个）合并，作为候选轴（注意归一化，虽然斐波那契采样已经是单位向量，但PCA轴也要归一化？但PCA.components_已经是单位向量）。
15. 距离计算：我们使用原网格的顶点到旋转后网格表面的距离的绝对值的平均值。但注意：旋转后网格的顶点顺序与原网格相同，所以我们可以直接计算对应点的距离（即旋转后网格的顶点位置与原始位置的差异）？但是，由于旋转对称性是整个网格重合，不仅仅是顶点（还包括面），所以使用点到网格表面的距离更准确（因为顶点不一定重合，但表面重合）。但旋转后网格的表面和原网格表面应该重合（在对称的情况下），所以使用顶点到旋转后网格表面的距离是合理的。
然而，旋转后网格的顶点位置与原始网格的顶点位置并不是直接对应的（除非网格具有顶点置换不变性，但旋转操作可能改变了顶点的索引顺序）。因此，我们不能直接计算对应顶点的距离（因为旋转后，顶点索引顺序不变，但位置变了，所以对应点应该是旋转前的点与旋转后的相同索引的点？但这并不是最近点）。所以，我们使用原网格的顶点到旋转后网格表面的最近点距离（即ProximityQuery）是正确的。
16. 阈值：我们设定为网格最大包围盒边长的1e-3倍（千分之一）。
17. 算法流程总结：
import trimesh
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA
from trimesh.proximity import ProximityQuery
# 1. 加载网格
mesh = trimesh.load('model.obj')
# 2. 预处理：合并重复顶点，移除未使用的顶点等
mesh.merge_vertices() # 合并距离非常近的顶点
# 3. 获取顶点
vertices = mesh.vertices
# 4. 计算质心
center = mesh.center_mass # 或者使用 mesh.bounding_box.centroid？通常center_mass对于均匀网格是合适的
# 5. PCA主轴
pca = PCA(n_components=3)
pca.fit(vertices)
axes = pca.components_ # 三个主轴（单位向量）
# 6个方向（正反）
candidate_axes = []
for axis in axes:
candidate_axes.append(axis)
candidate_axes.append(-axis)
# 均匀采样（20个方向）
other_axes = fibonacci_sphere(samples=20)
candidate_axes = np.vstack([candidate_axes, other_axes])
# 阶数列表（降序）
n_list = [24, 20, 18, 16, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2] # 常见阶数，按降序排列
# 阈值
bbox = mesh.bounding_box.bounds
extents = bbox[1] - bbox[0]
max_extent = np.max(extents)
threshold = 1e-3 * max_extent
results = [] # 存储结果，每个元素是元组(axis, n)
# 对每个候选轴
for axis in candidate_axes:
# 归一化（虽然大部分已经是单位向量，但确保一下）
axis = axis / np.linalg.norm(axis)
# 对该轴，按降序遍历阶数列表
found = False
for n in n_list:
angle = 2 * np.pi / n
# 构建绕轴旋转的变换矩阵（绕center旋转）
T = trimesh.transformations.rotation_matrix(angle, axis, point=center)
# 复制网格并应用变换
rotated_mesh = mesh.copy()
rotated_mesh.apply_transform(T)
# 计算原网格顶点到旋转后网格表面的距离（绝对值）
query = ProximityQuery(rotated_mesh)
dist, _ = query.signed_distance(mesh.vertices)
# 取绝对值后平均
error = np.mean(np.abs(dist))
if error < threshold:
# 找到对称性，记录该轴和阶数n
results.append((axis, n))
found = True
break # 跳出阶数循环，因为已经找到该轴的最大阶数（在n_list中）
# 如果都没有找到，则不记录
# 输出结果
# 注意：同一个对称轴可能会被重复记录（比如正反方向，但实际上表示同一个轴）？但通常我们记录的方向向量是任意的，所以可以保留两个方向？但我们要注意，同一个旋转对称轴（相同轴，方向相反实际上是一样的）应该视为同一个轴。不过，在输出时可以合并：比如，如果两个方向向量平行（点积接近-1或1），则视为同一个轴。但我们这里的候选轴包括正反方向，所以同一个轴会被测试两次（一次正方向，一次反方向），而且两次都可能找到相同的阶数。因此，我们在输出结果时，需要去重：将方向向量归一化后，如果两个方向向量平行（点积接近1或-1，比如绝对值大于0.999），则视为同一个轴，然后保留其中一个（比如取方向向量为正方向的那个）。
# 去重步骤：
unique_results = []
for i, (axis1, n1) in enumerate(results):
duplicate = False
axis1 = axis1 / np.linalg.norm(axis1)
for j, (axis2, n2) in enumerate(unique_results):
axis2 = axis2 / np.linalg.norm(axis2)
if np.abs(np.dot(axis1, axis2)) > 0.999: # 视为平行
# 是同一个轴，保留阶数较大的那个（但是同一个轴两次测试的阶数应该相同，因为对称性相同）
# 所以保留其中一个即可
duplicate = True
break
if not duplicate:
unique_results.append((axis1, n1))
# 输出unique_results
18. 注意：可能存在多个不同的对称轴，所以去重只去除重复的轴方向（正反方向视为同一个轴）。
19. 如果网格没有任何旋转对称性（除了恒等变换），那么结果为空。
20. 示例：一个立方体，应该有3个4阶轴（对面中心连线方向）和4个3阶轴（顶点到对角顶点方向）和6个2阶轴（对边中点连线方向）。但是，我们的方法是否能找到所有轴？这取决于候选轴采样是否包含这些方向。PCA主轴应该对应于立方体的三个面对角线（即4阶轴的方向），但立方体的惯性主轴就是这三个轴。至于3阶轴，在均匀采样中可能会被采样到。
但是，立方体的3阶轴有4个，均匀采样20个方向，应该能采样到。但是，我们的阶数列表中，对于3阶轴，我们测试n=3，应该能通过。
21. 最后，输出结果。
22. 局限性：
- 只能找到离散对称性（阶数在n_list中）
- 对称轴必须通过质心（如果物体不对称，质心可能不合适？但题目要求是刚体且全局对称，所以质心应该是对称中心）
- 计算效率取决于采样数量。
23. 改进方向：
- 可以先用PCA轴测试，如果找到对称轴，则在这些轴的附近（小范围内）进一步采样，以找到更多对称轴（比如正多面体有多个对称轴，它们之间角度固定）。
- 或者，利用找到的对称轴推导其他对称轴（如旋转群的结构），但这比较复杂。
现在，我们按照上述思路实现代码。
由于代码较长，我们将其封装为一个函数：
注意：需要安装trimesh, numpy, scikit-learn
代码示例：
</think>
以下是使用 Python 和 trimesh 库实现三维刚体离散旋转对称性自动识别算法的完整解决方案。该方案基于网格几何特性（忽略纹理和颜色），通过特征分析和变换检测实现全局旋转对称性识别。
### 解决方案设计思路
1. **核心原理**
旋转对称性检测基于刚体变换特性：若网格绕轴旋转 $ \theta = \frac{2\pi}{n} $ 后与自身重合，则存在 n 阶旋转对称性。算法通过几何特征分析和变换验证实现检测。
2. **关键步骤**
- 特征点提取（顶点/面心）
- 惯性主轴计算（候选对称轴）
- 角度离散化测试（$n=2,3,4,\dots$）
- 误差容忍度验证（数值稳定性处理）
### 代码实现
```python
import numpy as np
import trimesh
from scipy.spatial import KDTree
def detect_rotational_symmetry(mesh, max_order=12, tol=1e-5):
"""
识别三维网格的离散旋转对称性
参数:
mesh: trimesh.Trimesh 对象
max_order: 最大检测阶数 (默认12)
tol: 数值容差 (默认1e-5)
返回:
list: 元素为元组 (axis, order) 的列表
"""
# 1. 预处理与特征提取
mesh = mesh.copy()
mesh.merge_vertices() # 合并重合顶点
centroid = mesh.centroid # 网格中心
# 2. 候选对称轴生成 (基于惯性主轴)
inertia_tensor = mesh.moment_inertia
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(inertia_tensor)
candidate_axes = [vec for vec in eigenvectors.T] # 主轴方向
# 3. 对称性检测
results = []
vertices = mesh.vertices - centroid # 中心化坐标
for axis in candidate
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