hdu 4406 GPA（费用流）

最新推荐文章于 2019-07-22 17:21:48 发布

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本文讨论如何使用网络流模型解决确保学生各科成绩达到及格线，并在此基础上进一步提升成绩的问题。通过构建图模型，实现对学生成绩的优化管理。

这题一看很明显就是网络流模型。每天是一个节点，向T连流量为K，费用为0的弧。每个课程向可上该课程的天数节点连流量为K，费用为0的弧。由于要保证每科都及格，显然是从S向初始分数低于60的科目连容量为60-score的弧，费用呢？显然是 -INF，这样就能保证有流量的话就优先及格。

那么这个题就只剩下一个问题了：每科都得到60分以上之后呢？我们必须保证对于一个课程，得到x分之后再来上这节课只能是得x+1分。再看看那个计算公式:

calc(x, w) = (4.0-3.0*(100-x)*(100-x)/1600)*w;显然是一个突函数，舍去不必要的部分，本题就是要求sigma（-（100-x）^2）最大，看一些连续的分数：60,61,62.。。

他们的价值分别是-40^2, -39^2, -38^2。。。显然这个数列的a[i]-a[i+1], a[i+1]-a[i+2]是递增的！想清楚这一点剩下的就简单了，对于得到60以后的科目，由s向i课程分别连代表（61-100分）的40条弧，每条弧的容量都是1（再上一节课），费用为calc(x-1,w) - calc(x, w)。这样就能保证每次选择i课程都会是从低到高连续的选了。

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<fstream>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#define FF(i, a, b) for(int i=a; i<b; i++)
#define FD(i, a, b) for(int i=a; i>=b; i--)
#define REP(i, n) for(int i=0; i<n; i++)
#define CLR(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define LL long long
#define PB push_back
#define eps 1e-10
#define debug puts("**debug**")
using namespace std;

const int maxn = 500;
const int INF = 1e5;
int n, k, m, s, t, p[maxn], a[maxn], inq[maxn];
double d[maxn];
int flow;
double cost;
struct Edge
{
    int from, to, cap, flow;
    double cost;
};
vector<Edge> edges;
vector<int> G[maxn];

inline void init()
{
    flow = cost = s = 0, t = n + m + 1;
    REP(i, t+1) G[i].clear(); edges.clear();
}

void add(int from, int to, int cap, double cost)
{
    edges.PB((Edge){from, to, cap, 0, cost});
    edges.PB((Edge){to, from, 0, 0, -cost});
    int nc = edges.size();
    G[from].PB(nc-2);
    G[to].PB(nc-1);
}

bool spfa(int& flow, double& cost)
{
    REP(i, t+1) d[i] = INF;
    CLR(inq, 0);
    d[s] = 0, inq[s] = 1, p[s] = 0, a[s] = INF;
    queue<int> q; q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u = q.front(); q.pop();
        inq[u] = 0;
        int nc = G[u].size();
        REP(i, nc)
        {
            Edge& e = edges[G[u][i]];
            if(e.cap > e.flow && d[e.to] > d[u] + e.cost)
            {
                d[e.to] = d[u] + e.cost;
                p[e.to] = G[u][i];
                a[e.to] = min(a[u], e.cap - e.flow);
                if(!inq[e.to]) q.push(e.to), inq[e.to] = 1;
            }
        }
    }
    if(d[t] == INF) return false;
    flow += a[t], cost += d[t] * a[t];
    int u = t;
    while(u != s)
    {
        edges[p[u]].flow += a[t];
        edges[p[u]^1].flow -= a[t];
        u = edges[p[u]].from;
    }
    return true;
}

int w[maxn], score[maxn];

double calc(int x, int w) // 计算凸函数
{
    return (4.0-3.0*(100-x)*(100-x)/1600)*w;
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d", &n, &k, &m), n+m+k)
    {
        init();
        double tot=0, ans=0;
        FF(i, 1, m+1) scanf("%d", &w[i]), tot += w[i];
        FF(i, 1, m+1) scanf("%d", &score[i]);
        int x;
        FF(i, 1, n+1)
        {
            add(i+m, t, k, 0);
            FF(j, 1, m+1)
            {
                scanf("%d", &x);
                if(x) add(j, i+m, k, 0);
            }
        }
        double a, b;
        FF(i, 1, m+1)
        {
            //两种情况分别加弧
            if(score[i] < 60)
            {
                a = calc(60, w[i]);
                add(s, i, 60-score[i], -1.0*INF);
                FF(j, 61, 101)
                {
                    b = calc(j, w[i]);
                    add(s, i, 1, a-b);
                    a = b;
                }
            }
            else
            {
                a = calc(score[i], w[i]);
                FF(j, score[i]+1, 101)
                {
                    b = calc(j, w[i]);
                    add(s, i, 1, a-b);
                    a = b;
                }
            }
        }
        while(spfa(flow, cost));
        int nc = G[s].size(), flag = 0;
        REP(i, nc)
        {
            Edge e = edges[G[s][i]];
            if(e.cap > 0) score[e.to] += e.flow;//由正向弧计算最终得分
        }
        FF(i, 1, m+1)
        {
            if(score[i] < 60)
            {
                flag = 1;
                break;
            }
            ans += calc(score[i], w[i]) / tot;
        }
        if(flag) ans = 0;
        printf("%.6f\n", ans);
    }
    return 0;
}