连续正数序列求和算法-优快云博客

题目：输入一个正数n，输出所有和为n连续正数序列。

例如输入15，由于1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15，所以输出3个连续序列1-5、4-6和7-8。

分析：这是网易的一道面试题。

这道题和本面试题系列的第10题有些类似。我们用两个数small和big分别表示序列的最小值和最大值。首先把small初始化为1，big初始化为2。如果从small到big的序列的和大于n的话，我们向右移动small，相当于从序列中去掉较小的数字。如果从small到big的序列的和小于n的话，我们向右移动big，相当于向序列中添加big的下一个数字。一直到small等于(1+n)/2，因为序列至少要有两个数字。

基于这个思路，我们可以写出如下代码：

 1 void PrintContinuousSequence(int small, int big);
 2 
 3 /
 4 // Find continuous sequence, whose sum is n
 5 /
 6 void FindContinuousSequence(int n)
 7 {
 8       if(n < 3)
 9             return;
10 
11       int small = 1; 
12       int big = 2;
13       int middle = (1 + n) / 2;
14       int sum = small + big;
15 
16       while(small < middle)
17       {
18             // we are lucky and find the sequence
19             if(sum == n)
20                   PrintContinuousSequence(small, big);
21 
22             // if the current sum is greater than n, 
23             // move small forward
24             while(sum > n)
25             {
26                   sum -= small;
27                   small ++;
28 
29                   // we are lucky and find the sequence
30                   if(sum == n)
31                         PrintContinuousSequence(small, big);
32             }
33 
34             // move big forward
35             big ++;
36             sum += big;
37       }
38 }
39 
40 /
41 // Print continuous sequence between small and big
42 /
43 void PrintContinuousSequence(int small, int big)
44 {
45       for(int i = small; i <= big; ++ i)
46             printf("%d ", i);
47 
48       printf("\n");
49 }

以上转自何海涛博客

刚在《编程之美》2.21节看到这题，网上查了一下，发现了一个O（n^1/2）的算法，具体解析如下

我们知道：

1+2 = 3；

4+5 = 9；

2+3+4 = 9。

等式的左边都是两个以上连续的自然数相加，那么是不是所有的整数都可以写成这样的形式呢？稍微考虑一下，我们发现，4和8等数不能写成这样的形式。

问题1：写一个程序，对于一个64位的正整数，输出它所有可能的连续自然数（两个以上）之和的算式。

问题2：大家在测试上面的程序的过程中，肯定会注意到有一些数字不能表达为一系列连续的自然数之和，例如32好像就找不到。那么，这样的数字有什么规律呢？能否证明你的结论？

问题3：在64位正整数范围内，子序列数目最多的数是哪一个？这个问题要用程序蛮力搜索，恐怕要运行很长时间，能够用数学知识推导出来？

问题1解答：对于任意的正整数n >= 3（1和2均不能写成连续的自然数序列之和）。假设n能够写成自然数序列[seqStart, seqEnd]之和，则有(seqEnd + seqStart)*(seqEnd - seqStart + 1) = 2*n。考虑左式是两个整数之积，想到对右边的2*n进行因数分解，不妨假定2*n = minFactor * maxFactor，则有

seqEnd + seqStart = maxFactor (1)

seqEnd - seqStart = minFactor-1 (2)

解方程组(1)(2)得：

seqStart = (maxFactor - minFactor + 1) / 2

seqEnd = (maxFactor + minFactor - 1) / 2

因为maxFactor - minFactor与maxFactor + minFactor有相同的奇偶性，因此只需要判断maxFactor + minFactor的奇偶性即可，如果maxFactor + minFactor为奇数，那么seqStart和seqEnd不是分数，是整数，即这个序列存在。下面是代码：

 1 int plusSequence(unsigned int n)
 2 {
 3     int count = 0;
 4     int sqrtN = static_cast<int>(sqrt(static_cast<double>(2*n)));
 5     for(int i = 2; i <= sqrtN; ++ i)
 6     {
 7         if(2*n % i == 0) // if the current i is the factor of 2*n
 8         {
 9             int minFactor = i;
10             int maxFactor = 2*n / i;
11             /* Judge if (minFactor + maxFactor) is odd, if it is,
12              * it means that the n is the sum of a natural number sequence
13              */
14             if(((minFactor + maxFactor) & 0x00000001) == 1) 
15             {
16                 count ++;
17                 int seqStart = (maxFactor - minFactor + 1) >> 1;
18                 int seqEnd = (maxFactor + minFactor - 1) >> 1;
19                 printf("count %d is closed interval [%d, %d]/n", count, seqStart, seqEnd);
20             }
21         }        
22     }
23     return count;
24 }

问题二解答：

对于任意的奇数n = 2*k + 1(k >= 1)，均可以写成[k, k + 1]之和，因此所有的奇数均满足条件。

对于每一个偶数，均可以分解为质因数之积，即n = pow(2, i)*pow(3, j)*pow(5,k)...，如果除了i之外，j,k...均为0，那么n = pow(2, k)，对于这种数，其所有的因数均为偶数，观察上面的代码，14行要求两个因数之和为奇数，因此2的幂均不满足条件。对于非2的幂的偶数，均可以写成一个奇数和偶数之积，因此满足14行的条件，说明可以写成一个连续的自然数之和。因此除了2的幂之外，所有的正整数n >=3均可以写成一个连续的自然数之和。

问题三解答：

前面就当是抛砖引玉，问题三还没有解答出来，如果大家有什么思路，可以联系我。

注：上面的程序并没有考虑整数很大，导致溢出的情况。

以上转自http://blog.youkuaiyun.com/wangpingfang/article/details/5893412

转载于:https://www.cnblogs.com/wolenski/archive/2012/08/06/2624732.html