分治算法----快速排序

一.算法思想:

假设要对某数组进行由小->大排序

(1) 分解: 对于乱序数组a[R](存取范围[0->R],有R+1个数),取一个基准元素a[P](一般以第一个数即a[0]为基准),确定某个Partition(位置)Q ,使a[Q]右边的数都大于等于a[P],a[Q]左边的数都小于等于a[P].

(2)递归分治:分解之后,数组变成3部分 a[0]-a[Q],a[Q],a[Q+1]-a[R]. a[Q]只有一个元素,以它为标杆,对a[0]->a[Q]和a[Q+1]->a[R]分别执行步骤(1)

二.例子示例:

数    组: 0  1  2 3 4 5 6

原序列: 7 12 9 8 5 2 3

⑴.令P=0,取标杆a[P]为7作为基准,把a[0]存起来,记x=a[0];

令i=P+1,i开始向右边走,找到>=7的数,此时i停留在下标1处

令j=R,j开始向左移动,找到<=7的数,则j停留在下标6处,如果i<j,交换a[i],a[j];

数    组: 0 1 2 3 4 5 6

现序列: 7 3 9 8 5 212

继续执行步骤⑴,i到下标2处,j到下标5处,如果i<j,交换a[i],a[j]

数    组: 0 1 2 3 4 5 6
现序列: 7 3 2 8 5  9 12

继续执行步骤⑴,i到下标3处,j到下标4处,如果i<j,交换a[i],a[j]

数    组: 0 1 2 3 4 5 6

现序列: 7 3 2 5 8 9 12

其中,i,j的移动在循环中(见后续代码),如果找不到符合条件的数,会一直移动,直到i=r,则数组遍历完毕,i不再移动,此时i到了下标6处

而j继续移动,5符合条件,来到下标3处 ,但由于i>=j条件不成立,不交换a[i],a[j],此时交换a[P],a[j],j=3

数    组: 0 1 2 3 4 5 6

现序列: 5 3 2 7 8 9 12

到此一个小分割就结束了,返回j下标Q=3,可以看出a[0->(j-1)]都小于或等于标杆x,即7,a[j+1->R]都大于或等于x.

后续可按上续步骤执行,

a[0]-a[Q]:

数    组: 0 1 2    

现序列: 5 3 2

x=0,i向右走,i=1,直到i=2,j向左找,找到a[j]<=x停止,此时j在下标2处,但由于i<j条件不成立,不交换a[i],a[j],此时交换a[P],a[j],则

数    组: 0 1 2    

现序列: 2 3 5

a[Q+1]-a[R]:

数    组: 3 4 5 6

现序列: 7 8 9 12

同理,由于一直不满足条件,i走到下标6处 j走到下标3处,此时i>j,执行交换a[P],a[j],原序列不变,算法结束

所以最终序列为:

数    组: 0 1 2 3 4 5 6

现序列: 2 3 5 7 8 9 12

三.源代码:

#include<iostream>
using namespace std;
int Partition(int a[],int P, int R);
void Quicksort(int a[],int P, int R)
{
	if(P<R)
	{
		int Q = Partition(a,P,R);
		Quicksort(a,P,Q-1);
		Quicksort(a,Q+1,R);
	}
}
int Partition(int a[], int P, int R)
{
	int i=P,j=R+1;//由于i,j先移动 提前加一位,但是以a[0]为标杆,a[0]不参与比较,i不用先减1,可见★代码处
	int x=a[P];
	while(true){
		while(a[++i]<x&&i<R);	//★  ++在前,先移动i再比较,所以初始i=P 此处目的是把i移动到a[i]>=x处或者i到最后一位停止.
		while(a[--j]>x);		//把i移动到a[i]<=x处
		if(i>=j) break;			//当i>=j大小标杆划分完成
		swap(a[i],a[j]);	
	}
	swap(a[P],a[j]);			
	return j;					//返回分界标杆
}

void main()
{
	int a[7]= {7,12,9,8,5,2,3};
	cout<<"原序列:\n";
	for (int i = 0; i < 7; i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
	Quicksort(a,0,6);		//此处传第三个参注意为n-1,n为待排序数个数,因为下标从0开始
	cout<<"\n现序列:\n";
	for (int i = 0; i < 7; i++)
	{
		cout<<a[i]<<" ";
	}
}

四.运行结果:

参考资料:《计算机算法设计与分析》 p25

五.时间复杂度:

快速排序每次将待排序数组分为两个部分,如果理想,每一次都将待排序数组划分成等长两个部分,则需要logn次划分。

平均需要(nlogn)