Concrete Mathematics 6.1 Stirling Number Identities

devout_ — Sun, 11 Jun 2023 20:58:54 +0800

n1m1k∑knkm6.151−k1−k1knn1m1k∑nkmk6.16−m11subsets A1A2⋯Am11∈A1. Say CAiiA2CA3⋯CAm1∣A1∣−1A1A2CA3⋯CAm1choose m1k∣A1∣−。

图染色问题的NP完全性证明

devout_ — Mon, 17 Apr 2023 20:57:50 +0800

首先我们引入同色边的概念，利用同色边我们可以方便的确定三种颜色中的一种，通过一个三元环确定三个颜色分别对应 T/F/O，随后利用 variable gadget 确定每一个 3-sat 变量的取值，对于每一个 clause gadget 输出的结果即三个输入的或，利用 OR gadget 实现，要求每一个 clause 的返回结果均为 true。赋值，是的一个布尔表达式的值为真，其中这个布尔表达式形如若干个 clause 的与，其中一个 clause 为三个变量（可能带非运算符）的或的形式。

[NOIO #2] 游戏

devout_ — Thu, 03 Dec 2020 10:03:33 +0800

首先有一个结论——二项式反演用 f(n)f(n)f(n) 表示钦定选择了 nnn 个的方案数， g(n)g(n)g(n) 表示实际选择了 nnn 个数的方案，那么有 f(n)=∑i=nm(−1)n−i(in)g(i)f(n)=\sum_{i=n}^m (-1)^{n-i}\binom{i}{n}g(i)f(n)=i=n∑m(−1)n−i(ni)g(i) g(n)=∑i=nm(−1)n−i(in)f(i)g(n)=\sum_{i=n}^m (-1)^{n-i}\binom{i}{n}f(i)g(n)=

[CSP2019] 划分

devout_ — Tue, 01 Dec 2020 07:58:27 +0800

link 32pts 用 fi,jf_{i,j}fi,j 表示最后一段分段为 [i,j][i,j][i,j] 的最小复杂度 O(n3)\mathcal O(n^3)O(n3) 转移即可 64pts 观察发现，显然有当最后一段分段的大小最小的时候答案是最优的，所以记录大小最小的大小以及这个时候的dp值就可以 O(n2)\mathcal O(n^2)O(n2) 转移了。 84pts 我们可以用单调队列维护 2sumi−sumprei2sum_i-sum_{pre_i}2sumi−sumprei ，就可以

[NOIP2008]双栈排序

devout_ — Tue, 01 Dec 2020 07:40:52 +0800

link 考虑什么时候 (i,j)(i,j)(i,j) 可以被放到同一个栈里面我们只需要考虑如果我们把 (i,j)(i,j)(i,j) 放一起后面会不会出现矛盾假设有 i

2020.11.29集训总结

devout_ — Sun, 29 Nov 2020 16:07:53 +0800

malkuth description 称一个矩阵在模????意义下是神奇的，当且仅当它满足下面两个条件：1.该矩阵是一个只含0到????−1的整数的方阵；2.矩阵每行，每列的和在模????意义下相等。给定的????,????,????，请你求出模????意义下n阶神奇的矩阵中每行每列的和均等于????的不同矩阵的个数，两个矩阵不同当且仅当它们在至少某一位上的元素不同。由于答案较大，请你求出答案对 109+910^9+9109+9（一个质数）取模后的结果。 n,p,k≤109n,p,k\leq 10^9n,

[NOIp2016] 天天爱跑步

devout_ — Thu, 29 Oct 2020 20:12:34 +0800

显然，一个人的跑步路线可以看成是一段上行到lca，一段下行。首先考虑上行，一个点xxx可以观察到(s,t)(s,t)(s,t)的条件是： dep[s]−dep[x]=wxdep[s]-dep[x]=w_xdep[s]−dep[x]=wx 移项： dep[x]=wx+dep[x]dep[x]=w_x+dep[x]dep[x]=wx+dep[x] 相当于树上差分之后维护子树里有起点的dep[x]dep[x]dep[x] 考虑下行，一个点xxx可以观察到(s,t)(s,t)(s,t)的条件是： dis(s,

[QZSOJ4968]最大值

devout_ — Fri, 23 Oct 2020 16:45:27 +0800

description 给定 nnn 个数 {ai}\{a_i\}{ai}，要求从中选出两个不同的数 x,yx,yx,y，使得 x op yx\ op\ yx op y 最大。 op=or,xor,andop=or,xor,andop=or,xor,and n≤106,ai≤106n\leq 10^6,a_i\leq10^6n≤106,ai≤106 solution xorxorxor 我们对于所有的数二进制形式建一棵 trietrietrie，然后枚举一个

2020.10.7集训总结

devout_ — Wed, 07 Oct 2020 16:24:33 +0800

count description 设矩阵 RRR 是由若干个正方形所组成的矩阵，定义函数 F(R)F(R)F(R) 为矩阵 RRR 的某一条对角线穿过的小正方形的个数。现在已知 F(R)=NF(R)=NF(R)=N，求可能的矩阵 RRR 的个数。 n≤109n\leq 10^9n≤109，数据随机生成 solution 设一个矩形 R=n×m,m≤nR=n\times m,m\leq nR=n×m,m≤n，显然他对角线经过了 gcd⁡(n,m)−1\gcd(n,m)-1gcd(n,m)−1 个格点，把他分

莫队二次离线

devout_ — Wed, 26 Aug 2020 19:05:44 +0800

模板通常来说，满足以下条件的问题可以莫队转移复杂度不是O(1)O(1)O(1) 可以使用莫队二次离线优化对于一个复杂度为 O(nnp)O(n\sqrt np)O(nnp)，ppp 不是常数的莫队问题优化到复杂度为 O(nn+np)O(n\sqrt n+np)O(nn+np) 对于模板题，显然暴力莫队的做法是O(nn(14k))O(n\sqrt n \binom{14}{k})O(nn(k14))的，显然炸飞考虑优化，我们用 f(i,[l,r])f(i,[l,r])f(i,[l,r])

NOI2020同步赛爆零记&暑假划水总结

devout_ — Sun, 23 Aug 2020 19:46:53 +0800

大概从寒假开始都叫暑假吧所以要从头开始大概记录一下在学校划水的事吧 day -213(2020.1.17) 放寒假啦！开心 day -204(2020.1.26) 延期开学了 day -77(2020.6.1) 终于开学了… 然后我们一帮人中午就被 gu 放学之后找去谈话，说了说“训练计划” 然后 nls 把我扣在了食堂，等我过去的时候他们差不多都说完了… 于是啥东西都没听见 day -72(2020.6.6) 开学之后的第一次唯一一次训练做的是 FJ 集训的题好像，反正三道暴力走人，被吊打了/dk

2020.8.13集训

devout_ — Thu, 13 Aug 2020 12:22:29 +0800

math description 设d(i)d(i)d(i)为iii的因数个数给定n,mn,mn,m，求： ∑i=1n(−1)∑j=1md(i⋅j)\sum_{i=1}^n(-1)^{\sum_{j=1}^m d(i\cdot j)}i=1∑n(−1)∑j=1md(i⋅j) n≤107,m≤1014n\leq 10^7,m\leq 10^{14}n≤107,m≤1014 solution 发现我们只用关心有几个jjj可以让i⋅ji\cdot ji⋅j是完全平方数设i=pq12i=pq_1^2i=pq

[BJOI2020] 主音识别

devout_ — Tue, 11 Aug 2020 13:33:41 +0800

咕咕咕的北京省选题 description 给定参数kkk,一个大小为mmm的集合{b1,b2,b3...bm}\{b_1,b_2,b_3...b_m\}{b1,b2,b3...bm}，一个长度为nnn的数列{ai}\{a_i\}{ai} 定义f(x,ai)=[ai≡x( mod k)]+[∃1≤j≤m,ai≡x+bj( mod k)]f(x,a_i)=[a_i\equiv x(\bmod k)]+[\exist1\leq j\leq m,a_i\equiv x+b_j(\bmod k)]f(x,

2020.8.10集训

devout_ — Mon, 10 Aug 2020 13:14:13 +0800

matrix description 给定两个长度为nnn的数列lll,ttt,分别作为n×nn\times nn×n的矩阵的第一列和第一行，其他位置的矩阵满足 Fi,j=a×Fi,j−1+b×Fi−1,jF_{i,j}=a\times F_{i,j-1}+b\times F_{i-1,j}Fi,j=a×Fi,j−1+b×Fi−1,j 给定a,ba,ba,b，求Fn,nF_{n,n}Fn,n n≤105n\leq 10^5n≤105 solution 考虑一个数的贡献，li(i>2)l_i(i

[国家集训队]Middle

devout_ — Sun, 09 Aug 2020 19:22:23 +0800

description 给定一个序列 sss，qqq次询问，每次询问所有左端点在 [a,b][a,b][a,b] ，右端点在 [c,d][c,d][c,d] 里面的区间的中位数的最大值，强制在线 subtask 1:n,q≤100subtask\ 1:n,q\leq 100subtask 1:n,q≤100 subtask 2:n≤2000,m≤2.5×104subtask\ 2:n\leq 2000,m\leq 2.5\times 10^4subtask 2:n≤2

[NOI2018] 归程

devout_ — Sat, 08 Aug 2020 21:48:07 +0800

关于spfa 他死了问题可以转化成，我们在所有海拔>p>p>p的边组成的图中，vvv所在的连通块中，距离111最近的一个点的距离后半部分可以用spfa dijkstra解决前面的这个东西，我们可以对于每一条边的海拔排序，从大到小建立可持久化并查集，维护一下并查集的min，相当于是可持久化带权并查集复杂度O(nlog⁡2n)O(n\log^2n)O(nlog2n)，实际得分在909090分左右考虑优化，我们发现，每次合并两个可持久化带权并查集找父亲的时候，可以不用每次暴力找爸

2020.8.7集训

devout_ — Fri, 07 Aug 2020 14:33:28 +0800

奇怪的道路 description 小宇从历史书上了解到一个古老的文明。这个文明在各个方面高度发达，交通方面也不例外。考古学家已经知道，这个文明在全盛时期有n座城市，编号为1⋯n1\cdots n1⋯n。mmm 条道路连接在这些城市之间，每条道路将两个城市连接起来，使得两地的居民可以方便地来往。一对城市之间可能存在多条道路。据史料记载，这个文明的交通网络满足两个奇怪的特征。首先，这个文明崇拜数字K，所以对于任何一条道路，设它连接的两个城市分别为 uuu 和 vvv，则必定满足 1≤∣u−v∣≤K1\le

[HNOI2012] 矿场搭建

devout_ — Mon, 03 Aug 2020 11:59:30 +0800

显然需要求一下点双然后枚举每一个点双，考虑进行分类讨论如果这一个联通块里面只有这一个点双，也就是这个点双里面没有割点，那么我们至少需要建造两个出口，才能保证能跑出去（因为有可能选的那个塌了）如果这个点双里面有一个割点，那么有两种情况，一种是割点塌了，这样我们需要选出1个点，或者割点没塌，这样我们就可以跑到另一个点双里面去了，这样需要选出1个点当这个点双里面有两个割点，那么我们最坏情况是一个割点塌了，但是我们还是能跑到另一个里面。这样我们就可以解决了 #include

[NOIp2018] 摆渡车

devout_ — Sat, 01 Aug 2020 15:49:10 +0800

普及组考斜率优化考虑dpdpdp fif_ifi表示在iii时刻发车的最小等待时间那么我们可以得到转移方程 fi=min⁡0≤j≤i−m{fj+(cnti−cntj)i−(sumi−sumj)}f_i=\min\limits_{0\leq j\leq i-m} \{f_j+(cnt_i-cnt_j)i-(sum_i-sum_j)\}fi=0≤j≤i−mmin{fj+(cnti−cntj)i−(sumi−sumj)} 其中cnt,sumcnt,sumcnt,sum分别是学生个数和学生到达时

2020.7.28集训

devout_ — Tue, 28 Jul 2020 16:07:40 +0800

string description 小 A 最近喜欢上了一个字母游戏，这个游戏的大意是这样的：有 nnn 个无限长的循环字符串，所谓循环字符串，就是由某一个子串重复叠加而成。现在想知道最早在哪一位，这 nnn 个字符串位于该位的字母相同。小 A 对于简单难度的关卡简直手到擒来，但是对于困难难度的关卡他就一筹莫展了。这时他想到了你，一个机智的程序员，他希望你能够帮他编写程序求出答案。我们保证该子串中的字母互不重复,但区分大小写。 n≤3×105n\leq 3\times 10^5n≤3×105 soluti

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