6、深度学习中的成本函数综合解析

深度学习中的成本函数综合解析

在深度学习中，成本函数起着至关重要的作用，它用于衡量模型预测结果与真实目标之间的差异，从而指导模型的训练和优化。下面将详细介绍几种常见的成本函数及其相关性质。

1. 交叉熵与Kullback - Leibler散度

交叉熵和Shannon熵之间的差异就是Kullback - Leibler散度（Kullback - Leibler Divergence，简称KL散度），其定义如下：
[D_{KL}(p||q) = S(p, q) - H(p)]
也可以等价表示为：
[D_{KL}(p||q) = -\int_{R} p(x) \ln \frac{q(x)}{p(x)} dx]
根据之前的结果可知，(D_{KL}(p||q) \geq 0)。但需要注意的是，KL散度并不是一个真正意义上的距离，因为它既不具有对称性，也不满足三角不等式。

在神经网络中，交叉熵和KL散度都可以作为成本函数。假设给定一个神经网络，输入随机变量为(X)，输出为(Y = f_{\theta}(X, \xi))，其中(\theta = (w, b))，(\xi)表示网络中的噪声，目标随机变量为(Z)。可以通过概率密度函数来衡量输出(Y)与目标(Z)之间的匹配程度。输入(X)给定时(Y)的条件密度记为(p_{\theta}(y|x))，称为条件模型密度函数；((X, Z))的联合密度记为(p_{X,Z}(x, z))，被视为训练分布。

一种调整参数(\theta)的方法是，对于给定的训练分布(p = p_{X,Z}(x, z))，找到一个条件模型分布(q = p_{\theta}(\cdot|x))，使得(p)和(q)的交叉