4、局部性与获胜游戏

局部性与获胜游戏

1. 引言

在计算机科学领域，尤其是数据库理论和逻辑理论中，局部性是一个非常重要的概念。通过形式化推理，我们可以为逻辑查询的表达能力提供简单标准，这有助于理解哪些属性可以在一阶逻辑（FO）中表达，哪些不能。本章的目标是探讨局部性概念，并展示如何利用它来证明某些性质在FO中不可表达。

1.1 局部性的概念

局部性主要关注逻辑公式在结构中能“看到”的范围。具体来说，一个公式是否只依赖于其自由变量附近的结构信息。这种特性对于证明不可表达性结果尤其有用，因为它可以帮助我们识别逻辑表达能力的边界。

1.2 获胜游戏的作用

为了更好地理解局部性，我们引入了Ehrenfeucht-Fraïssé游戏的概念。这个游戏由两个玩家进行：破坏者和复制者。通过这些游戏，我们可以更直观地理解逻辑公式的局限性，并为复制者提供获胜策略。

2. 邻里、Hanf局部性和Gaifman局部性

为了形式化“从自由变量看到距离r”的概念，我们定义了邻里。邻里是指围绕一个元组的所有元素，这些元素与元组的距离不超过r。

2.1 邻里的定义

定义邻里是为了形式化“从自由变量看到距离r”的概念。具体来说，给定一个结构A和一个元组~a，半径为r的球体围绕~a是集合：

[ B_r^A(\tilde{a}) = {b \in A \mid d_A(\tilde{a}, b) \leq r} ]

其中，(d_A(\tilde{a}, b))表示在盖夫曼图中从元组~a到元素b的距离。

2.2 Hanf局部性

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