【2023百度之星备赛】码蹄集 BD202303 第五维度（二分 + 贪心）

题目

https://www.matiji.net/exam/brushquestion/3/4347/179CE77A7B772D15A8C00DD8198AAC74?from=1

题目大意：给定n个科学家每秒获得理解力的大小和开始理解的时间，给定理解第五维度需要的总理解力。同时，可以随机让一位科学家在某一时刻消失，其理解力清0，并之后不会再产生理解力。求在尽可能晚的情况下，人类理解第五维度的最早时间点（最晚最早问题）。

分析

看了很多题解，都给了这么一句话：一般看到最（大/小）的最（小/大），都是用二分求解。所以这里可以对人类理解第五维度的时间点进行二分，由于求的是最早时间点，所以应该用if check(mid) r = mid; else l = mid + 1;的模板（二分模板参考：https://blog.youkuaiyun.com/destiny_balabala/article/details/104892394）。

对于check()函数，作用是判断二分的答案是否能满足所有科学家的累计贡献度超过m。由于要求尽可能晚的让人类理解第五维度，所以在计算累计贡献度的时候，需要排除掉贡献度最大的科学家（贪心的思想）。

时间复杂度方面，二分最小值是1，最大值是m（数据范围中，理解力大的最大值）每次check函数求累计贡献度需要执行n次（数据范围中，科学家的数量），所以复杂度为$O(nlo{g}_{2}m)$。题目中，m最大为$2\ast 10^9$，n最大为$10^5$。所以$lo{g}_{2}m=lo{g}_{2}2\ast 10^9<lo{g}_{2}2\ast 16^9<lo{g}_{2}2\ast 2^{36}=37$，$nlo{g}_{2}m<n\ast 37=3.7\ast 10^6$，所以不会超时。

代码

#include<bits/stdc++.h> 

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 100010;
int n, m;
int s[N], v[N];

int check(ll t) {
    // 如果能让人类理解第五维度，则返回1；否则返回0 
    ll sum = 0, _max = -1;
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) {
        ll cur = max((t - s[i]) * v[i], 0ll); // s * v最大可能为10^12，所以这里要用long long
        _max = max(_max, cur);
        sum += cur;
    } 
    return sum - _max > m;
}

int main( )
{
    scanf("%d%d", &n ,&m);
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%d%d", &s[i], &v[i]);
    ll l = 1, r = 2e9;

    ll ans = -1;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) { 
            r = mid;
            ans = mid;
        }
        else l = mid + 1;
    }

    cout << ans << endl;

    return 0;
}

总结

求最（大/小）的最（小/大）的问题，一般使用二分解决：

• 二分用来解决后面的最，并且根据是求最大值还是最小值确定二分模板的写法
• 二分的check函数用来解决前面的最