感知机-收敛性证明及代码实现

最新推荐文章于 2025-08-08 12:29:02 发布
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分类专栏： 机器学习 文章标签： 机器学习 感知器 感知机收敛性
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一、感知机原理

感知机是最简单的线性二分类模型，如果要处理的数据是线性可分的，则该模型能取得很好的效果，如果数据不是线性可分的，则该模型不能取得很好的效果。以二维平面为例，如果要分类的点，能被一条直线分开，直线的一侧是正类，直线的另一侧是负类，则说明数据是线性可分的。如果数据需要一个圆来分开则说明数据不是线性可分的，曾经感知机因为不能处理异或问题，而被人批判，导致神经网络的研究停滞了几十年。

1.1 感知机形式

感知机就是为了确定一条直线WX+b，让直线的一侧为正类，直线的另一侧是负类。当WX+b运算大于0时为+1，WX+b运算小于0时为-1，为此引入了sign函数。

                                                 sign(x) =\left\{ \begin{matrix} +1 & x<=0 \\ -1 & x>0 \end{matrix}\right.

1.2感知机学习过程

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本文介绍了感知机模型的基本概念、几何解释及学习算法。感知机是一种二分类线性模型，通过超平面划分特征空间。文章详细阐述了感知机学习策略（基于误分类点距离的损失函数）和两种算法形式（原始形式和对偶形式），并证明了算法的收敛性。通过具体例题展示了算法实现过程，最后指出感知机仅适用于线性可分问题，其解不唯一且依赖于初始选择和迭代顺序，这为后续支持向量机的发展奠定了基础。
【神经网络】感知机算法的收敛性证明
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感知机算法的收敛性 感知机学习算法是否收敛？ 定理：假设给定m个输入样本（{X(k)},(k=1,2,...,m)\{X(k)\},(k=1,2,...,m){X(k)},(k=1,2,...,m)）线性可分，那么感知机学习算法的权值就会在有限次的步骤中收敛到理想输出。 定性解释： 如果两类n维样本线性可分，那么一定存在一个n-1维的平面将其分开，n-1维超平面定义为： W(k)=[w0(k),w1(k),...wn(k)]:WTX(k)=0W(k)=[w_0(k),w_1(k),...w_n(k)
【人工智能之深度学习】1. 深度学习基石：神经元模型与感知机的数学本质（附代码实现与收敛性证明）
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摘要：作为深度学习的基础单元，神经元模型与感知机承载着从生物智能到人工神经网络的桥梁作用。本文从生物神经元的工作机制出发，系统剖析数学建模过程：详解赫布法则的权重更新原理（Δwi=η·xi·y），推导McCulloch-Pitts神经元模型的数学表达（y=Θ(∑wixi−b)），重点证明感知机在 linear可分情况下的收敛性——通过Novikoff定理严格推导迭代次数上界，揭示间隔γ对收敛速度的影响。结合Python实战，实现感知机算法并可视化决策边界动态更新过程，展示权重优化轨迹与误分类点收敛曲线。
感知机学习算法的实现以及收敛性的简单证明
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04-18 2594
感知机分为原始形式和对偶形式两种，是针对二分类问题，利用分离超平面进行分类的判别模型。分类策略与方法是基于误分类的损失函数，利用梯度下降对损失函数进行极小化。感知机具有简单易于实现的特点。 定义： 假设输入空间（特征空间）是 χ ⊆ Rn，输出空间是y=(+1,−1)。 输入χ∈X表示实例的特征向量，对应于输入空间的点；输出y∈γ表示实例的类别。由输入空间到输出空间的如下函数：称为感知机。 其...
【李航统计学】Chap2：感知机及代码实现
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Chap2：感知机1. 感知机模型2. 感知机学习策略2.1 损失函数2.2 范数 1. 感知机模型 感知机 是二类分类的线性分类模型，其输入为实例的特征向量，输出为实例的类别，取+1和-1二值。感知机对应于输入空间（特征空间）中将实例划分为正负两类的分离超平面，属于判别模型。 感知机模型的假设空间是定义在特征空间中的所有线性分类模型（linear classification medel）或线性分类器（linear classifier），即函数集合{f∣f(x)=w⋅x+b}\{f|f(x) = w
秃姐学AI系列之：感知机 | 多层感知机 | 感知机代码实现
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感知机是一个二分类模型，是最早的AI模型之一它的求解算法等价于使用批量大小为1的梯度下降它不能拟合XOR函数，导致了第一次AI寒冬多层感知机使用隐藏层和激活函数来得到非线性模型超参数为隐藏层层数和各个隐藏层的大小使用Softmax来处理多类分类。
超级详细证明感知机收敛性（Novikoff定理）
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前提 此文章是根据李航的《统计学习方法2》进行详解的，需要了解感知机的基本原理才能看懂下面的公式推导。 感知机收敛性（Novikoff定理）
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06-22
胡兆基机器学习课的笔记，非常精彩，利于学习消化理解
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转载来自：https://blog.youkuaiyun.com/deramer1/article/details/87928860 大家一起学习讨论 一、感知机原理 感知机是最简单的线性二分类模型，如果要处理的数据是线性可分的，则该模型能取得很好的效果，如果数据不是线性可分的，则该模型不能取得很好的效果。以二维平
感知机收敛性定理证明
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这是线性可分的假设，意味着每个样本点与正确超平面之间有一个至少为。证明的核心是利用数学归纳法和不等式，将错误次数限制在。目标是证明感知机算法在最坏情况下，最多会发生。以内，表明感知机算法在有限次错误更新后收敛。​ 为算法在第 k 次错误更新后的参数向量。存在一个参数向量 θ（被归一化为单位向量，​ 次更新（即错误分类次数）。这表明，感知机算法最多进行。，使得对所有训练样本。
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文章目录1. 感知机基础1.1 模型1.2 函数间隔与训练策略1.3 学习算法2. 算法收敛性证明3. 附录 1. 感知机基础 1.1 模型 感知机是最基础的机器学习模型之一，它的类别为： 分类（√）、回归、标注 概率软分类（√）、非概率硬分类 监督（√）、无监督、强化 线性（√）、非线性 判别（√）、生成 模型定义： 输入空间X⊆RnX\subseteq\R ^nX⊆Rn，输出空间Y={+1,−1}Y=\left\{ +1,-1\right\}Y={+1,−1}，定义由输入空间到输出空间的函数映射
感知机收敛性(Novikoff定理证明)
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  存在超平面（超平面法线向量为w^opt\hat{w}_{opt}w^opt​，∣∣w^opt∣∣=1||\hat{w}_{opt}||=1∣∣w^opt​∣∣=1，超平面方程为x^⋅w^opt=x⋅wopt+bopt=0\hat{x} \cdot \hat{w}_{opt}=x \cdot w_{opt}+b_{opt}=0x^⋅w^opt​=x⋅wopt​+bopt​=0）。其中w^opt\...
感知机模型(Perceptron)的收敛性解读 | 统计学习方法 | 机器学习
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在《统计学习方法》的感知机算法章节中，作者提出了一个问题，即如何证明一个线性可分的数据集，可以在有限次的迭代后得到这个分离超平面。我们称在有限次迭代后获得分离超平面的性质为感知机算法的收敛性。对于一个线性不可分的数据集，感知机模型将进入无法收敛的状态，即无法获得一个可以将所有实例正确分类的分离超平面，而是在迭代过程中进入震荡。
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感知机模型收敛性推导证明的前提是训练数据集线性可分。
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摘要：感知机是一种二类线性分类模型，通过分离超平面划分实例类别。其学习过程包括构建损失函数、梯度下降优化等步骤，可分为原始形式和对偶形式。当训练数据线性可分时，感知机算法能在有限次迭代后收敛，找到完美分类超平面。Novikoff定理从理论上证明了感知机算法的收敛性。
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感知器的收敛性被证明只在数据是线性可分的情况下成立。 ### 知识点三：MATLAB在感知器实现中的应用 MATLAB是一种广泛使用的数学计算软件，它提供的矩阵操作能力非常适合实现感知器算法。在MATLAB中，可以方便地...
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