Direct3D基础--渲染管线

本文为 Introduction to 3D Game Programming with DirectX 11 读书笔记

Color的XNA实现

XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR* pSource);

VOID XMStoreColor(XMCOLOR* pDestination, FXMVECTOR V);

Rendering Pipline

Input Assembler stage

input assembler (IA) 阶段从内存中读取几何数据，然后用它组合成几何原型（三角形、线等）。

Primitive Topology

被传输到渲染管线的顶点集合称为 vertex buffer，通过指定 primitive topology 来告诉Direct3D怎么从vertex数据中构成集合基元。

void ID3D11DeviceContext::IASetPrimitiveTopology(
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY Topology);

typedef enum D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY
{
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_UNDEFINED = 0,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_POINTLIST = 1,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINELIST = 2,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINESTRIP = 3,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLELIST = 4,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP = 5,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINELIST_ADJ = 10,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_LINESTRIP_ADJ = 11,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLELIST_ADJ = 12,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP_ADJ = 13,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_1_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 33,
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_2_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 34,
	...
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_32_CONTROL_POINT_PATCHLIST = 64,
} D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY;

例子：

md3dImmediateContext->IASetPrimitiveTopology(
	D3D11_PRIMITIVE_TOPOLOGY_TRIANGLESTRIP);
/* ...draw objects using triangle strip... */

选择各种primitive_topology形成的基元

上图的图b表示带邻接三角形的三角形列表，adjacent triangles的表示也必须在输入中提供

Indices

因为直接重复的给顶点数据的话，顶点会有很大的冗余，所以使用Index来构成primitive。
例如：

Vertex v [9] = {v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8};

UINT indexList[24] = {
	0, 1, 2, // Triangle 0
	0, 2, 3, // Triangle 1
	0, 3, 4, // Triangle 2
	0, 4, 5, // Triangle 3
	0, 5, 6, // Triangle 4
	0, 6, 7, // Triangle 5
	0, 7, 8, // Triangle 6
	0, 8, 1 // Triangle 7
};

The vertex shader stage

顶点着色器对顶点数据进行处理。

• 把对象从local坐标系转换到world坐标系
• 把world坐标系转换到camera坐标系（又称view space, eye space, or camera space），得到

在介绍View Space的时候，书上是先介绍的camera的坐标相对于world坐标的偏移，从view space到world space的转换矩阵 W，其中$W=RT$，那么world space到view space的转换矩阵就是
$$W=\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& u_y& u_z& 0\\ v_x& v_y& v_z& 0\\ w_x& w_y& w_z& 0\\ Q_x& Q_y& Q_z& 1\end{array}\right]$$
$$\begin{gathered} V=W^{-1}=(RT{)}^{-1}=T^{-1}{R}^{-1}=T^{-1}{R}^T \\ =\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ -Q_x& -Q_y& -Q_z& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& v_x& w_x& 0\\ u_y& v_y& w_y& 0\\ u_z& v_z& w_z& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{u}_x& v_x& w_x& 0\\ u_y& v_y& w_y& 0\\ u_z& v_z& w_z& 0\\ -Q_x& -Q_y& -Q_z& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

对Unity的shader比较熟悉的朋友可能会看到
#define COMPUTE_EYEDEPTH(o) o = -UnityObjectToViewPos( v.vertex ).z
这里取出z后在前面加了一个负号，这个还没有特别好的解释，关于这个计算

给定camera的坐标，构造camera坐标系统，因为world space的轴现在是作为标准的坐标，所以这里求出来的就是view space相对于world space的转换，再把上面说的$V=W^{-1}$考虑一下，就可以得到world space到view space的转矩阵了。$j=(0,1,0)$
$$\begin{gathered} w=\frac{T-Q}{||T-Q||} \\ u=\frac{j\times w}{||j\times w||} \\ v=w\times u \end{gathered}$$

XNA也提供了函数实现

XMMATRIX XMMatrixLookAtLH( // Outputs resulting view matrix V
	FXMVECTOR EyePosition, // Input camera position Q
	FXMVECTOR FocusPosition, // Input target point T
	FXMVECTOR UpDirection); // Input world up vector j

例子：

XMVECTOR pos = XMVectorSet(5, 3, -10, 1.0f);
XMVECTOR target = XMVectorZero();
XMVECTOR up = XMVectorSet(0.0f, 1.0f, 0.0f, 0.0f);
XMMATRIX V = XMMatrixLookAtLH(pos, target, up);

Projection and Homogeneous Clip Space

#####齐次坐标
给定欧式平面上一点(x,y)，对任意非零实数z，三元组(xZ,yZ,Z)即称之为该点的齐次坐标。与笛卡尔坐标不同，一个点可以有无限多个齐次坐标表示法。

• 当Z不为0，则表示欧氏平面上该点为(X/Z,Y/Z)
• 当Z为0，则该点表示一无穷远点
  三元组(0,0,0)不表示任何点，原点表示为(0,0,1)。

Defining a Frustum

定义视椎体的4个数：近平面$n$，远平面$f$，竖直视角(vertical field of view angle) $\alpha$，aspect ratio $r$.
aspect ratio : $r=w/h$，其中w和h分别为投影窗口的宽和高。

$$\begin{gathered} r=\frac{w}{h}=\frac{w}{2}\Rightarrow w=2r \\ \tan (\frac{\alpha }{2})=\frac{1}{d}\Rightarrow d=\cot (\frac{\alpha }{2}) \\ \tan (\frac{\beta }{2})=\frac{r}{d}=\frac{r}{\cot (\frac{\alpha }{2})}=r\cdot \tan (\frac{\alpha }{2}) \\ \text{horzontal field of view angle }\beta \\ \beta =2{\tan }^{-1}(r\cdot \tan (\frac{\alpha }{2})) \end{gathered}$$

Projecting Vertices

给定视椎体中一个顶点$(x,y,z)$，投影到近平面上$(x^{\prime },y^{\prime },d)$
公式如下：
$$\begin{gathered} \frac{x^{\prime }}{d}=\frac{x}{z}\Rightarrow x^{\prime }=\frac{xd}{z}=\frac{x\cot (\alpha /2)}{z}=\frac{x}{z\tan (\alpha /2)} \\ \frac{y^{\prime }}{d}=\frac{y}{z}\Rightarrow y^{\prime }=\frac{yd}{z}=\frac{y\cot (\alpha /2)}{z}=\frac{y}{z\tan (\alpha /2)} \end{gathered}$$
如果一个点在视椎体中，那么就有：
$$\begin{gathered} -r\le x^{\prime }\le r \\ -1\le y^{\prime }\le 1 \\ n\le z\le f \end{gathered}$$

标准设备空间 Normalized Device Coordinates (NDC)

为什么需要标准设备空间，因为从视椎体近平面和camera的设置有关，屏幕空间和硬件屏幕有关，这两者之间需要一个桥梁来做转换，所以NDC非常有必要。

在NDC中只有满足如下条件，一个点在camera space才处于视椎体中（下面的z还没有标准化）
$$\begin{gathered} -1\le x^{\prime }/r\le 1 \\ -1\le y^{\prime }\le 1 \\ n\le z\le f \end{gathered}$$
修改投影公式，使之直接将点映射到NDC
$$\begin{gathered} x^{\prime }=\frac{x}{rz\tan (\alpha /2)} \\ {y}^{\prime }=\frac{y}{z\tan (\alpha /2)} \end{gathered}$$

把投影等式写成矩阵形式

这里用了一个小trick，将过程分解为线性和非线性的两个部分。非线性部分就是最后除以z

则投影矩阵为，假设$A,B$为常数
$$P=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\tan (\alpha /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\alpha /2)}& 0& 0\\ 0& 0& A& 1\\ 0& 0& B& 0\end{array}\right]$$
则对任意顶点$(x,y,z,1)$
$$\left[\begin{array}{cccc}x,& y,& z,& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\tan (\alpha /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\alpha /2)}& 0& 0\\ 0& 0& A& 1\\ 0& 0& B& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}\frac{x}{r\tan (\alpha /2)},& \frac{y}{\tan (\alpha /2)},& Az+B,& z\end{array}\right]$$
做完投影的线性变换之后，除以w维，$w=z$。这就是非线性部分
$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{x}{r\tan (\alpha /2)},& \frac{y}{\tan (\alpha /2)},& Az+B,& z\end{array}\right]\stackrel{\text{divide by w}}{\to }\left[\begin{array}{cccc}\frac{x}{rz\tan (\alpha /2)},& \frac{y}{z\tan (\alpha /2)},& A+\frac{B}{z},& 1\end{array}\right]$$
除以$w$有是被称为perspective divide或者homogeneous divide

标准化深度值

上面假设了A和B为常数，最后要将深度值从$[n,f]$映射到$[0,1]$上。
令$g(z)=A+\frac{B}{z}$，则必须满足$g(n)=0,g(f)=1$
则
$$\begin{gathered} A=\frac{f}{f-n} \\ B=\frac{-nf}{f-n} \end{gathered}$$
最终得到的正交投影矩阵(perspective projection matrix)为
$$P=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{r\tan (\alpha /2)}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{\tan (\alpha /2)}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{f}{f-n}& 1\\ 0& 0& \frac{-nf}{f-n}& 0\end{array}\right]$$

XMMatrixPerspectiveFovLH

该投影矩阵也被XNA实现了

XMMATRIX XMMatrixPerspectiveFovLH( // returns projection matrix
	FLOAT FovAngleY, // vertical field of view angle in radians
	FLOAT AspectRatio, // aspect ratio = width / height
	FLOAT NearZ, // distance to near plane
	FLOAT FarZ); // distance to far plane

例子：

XMMATRIX P = XMMatrixPerspectiveFovLH(0.25f*MathX::Pi,
	AspectRatio(), 1.0f, 1000.0f);

//The aspect ratio is taken to match our window aspect ratio:
float D3DApp::AspectRatio()const
{
	return static_cast<float>(mClientWidth) / mClientHeight;
}

THE TESSELLATION STAGES

Tessellation是指把mesh的三角形再分割，添加新的三角形

THE GEOMETRY SHADER STAGE

geometry shader是可选的，它的主要优势是可以create or destroy geometry

剪裁 CLIPPING

将对象处在视椎体之外的部分剪裁掉


在homogeneous clip space中，在除以w之前，4D坐标为$(x,y,z,w)$，则
$$\begin{gathered} -w\le x\le w \\ -w\le y\le w \\ 0\le z\le w \end{gathered}$$

THE RASTERIZATION STAGE(光栅化)

光栅化阶段主要是，从投影的3D三角形，计算pixel color

视口转换（Viewport Transform）

从NDC转换到真实的要输出的窗口或者屏幕坐标

背面剪裁（Backface Culling）

背面剪裁是指将背对着camera的三角形剪裁掉
判断是否背对着camera
$$\begin{gathered} e_0=v_1-v_0 \\ {e}_1=v_2-v_1 \\ n=\frac{e_0\times e1}{||e_0\times e_1||} \end{gathered}$$
法向量对着camera的是正面front face，否则就是back face

Vertex Attribute Interpolation

必须对3D space的顶点的深度值，纹理采样点等信息做差值，这需要 perspective correct interpolation，并不是线性差值，如果直接线性差值将会得到下面演示的错误情况。

下图就是对深度值错误的差值

上图中多边形中screen space各线性差值点对应的world space的z不是线性变化的，而1/z是线性变化的。

THE PIXEL SHADER STAGE

逐像素的计算最后输出的值，这里可以做跟颜色阴影相关的计算

THE OUTPUT MERGER STAGE

所有没有被reject的输出都要写到back buffer。Blending就是在这个阶段做的。

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补充:透视纹理修正和1/z缓存

参考自《3D游戏编程大师技巧》

z在屏幕空间中不呈线性变化，只有1/z才呈线性变化。

证明：
使用下述两点之间的差值公式：
$$p=(1-t)\ast p1+(t)\ast p2\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中p可以是向量，也可以是标量。
由下图推导出关系

在上图中，有两个位于世界坐标空间中的点，他们的坐标分别是$(y1,z1)$和$(y2,z2)$。将这些点投影到$z=d$的视平面上，得到点$(p1,d)$和$(p2,d)$。另外，线段上任意一点$(y,z)$投影到视平面上时得到点$(p,d)$。

在3D空间中，位于y-z平面中（x=0）的直线的方程为：
$$a\ast y+b\ast z=c$$
看上图，根据三角形相似可知，焦点$(p,d)$和3D点$(y,z)$是相似三角形上对应的点：
$p/y=d/z$
求解y，得到
$y=(p/d)\ast z$，
带入到直线方程，得到
$(a\ast p/d)\ast z+b\ast z=c$，
将等式两边除以$(a\ast p/d)$，得到
$z=c/((a\ast p/d)+b)$，
等式两边取倒数，得到
$1/z=((a\ast p/d)+b)/c=(a\ast p/c\ast d)+(b/c)$，
将变量p与其他常量分离，得到
$$1/z=(a/c\ast d)\ast p+(b/c)\text{\hspace{1em}(2)}$$

将上述两个点以及其投影点带入上述等式，得到
$$\begin{gathered} 1/z1=(a/c\ast d)\ast p1+(b/c) \\ 1/z2=(a/c\ast d)\ast p2+(b/c) \end{gathered}$$
再带入到最上提到的差值公式（1），得到
$1/z=(a/c\ast d)[(1-t)\ast p1+(t)\ast p2]+(b/c)$
做一下变换，得到
$$1/z=[(a/c\ast d)\ast p1+(b/c)]\ast (1-t)+[(a/c\ast d)\ast p2+(b/c)]\ast (t)\text{\hspace{1em}(3)}$$
观察等式（2）与等式（3）的关系，使用$1/z1$替换右边的项，可以得到
$$1/z=[(1/z1)]\ast (1-t)+[(1/z2)]\ast (t)$$

这意味着可以在$1/z1$和$1/z2$之间进行线性差值。换句话说，任何3D空间量除以z的商在屏幕空间中都是呈线性变化的。