[洛谷P3158] [CQOI2011]放棋子

本文详细解析了一道经典的DP题目——CQOI2011的放棋子问题,通过定义状态f[i][j][k]和g[i][j][k],使用组合数学和动态规划技巧,计算在m行n列棋盘上放置多种颜色棋子的所有合法方式数量。

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洛谷题目链接:[CQOI2011]放棋子

题目描述

在一个m行n列的棋盘里放一些彩色的棋子,使得每个格子最多放一个棋子,且不同

颜色的棋子不能在同一行或者同一列。有多少祌方法?例如,n=m=3,有两个白棋子和一

个灰棋子,下面左边两祌方法都是合法的,但右边两祌都是非法的。

28150.png

输入输出格式

输入格式:

输入第一行为两个整数n, m, c,即行数、列数和棋子的颜色数。第二行包含c个正整数,即每个颜色的棋子数。所有颜色的棋子总数保证不超过nm。

输出格式:

输出仅一行,即方案总数除以 1,000,000,009的余数。

输入输出样例

输入样例#1:

4 2 2
3 1

输出样例#1:

8

说明

N,M<=30 C<=10 总棋子数<=250

题解: 一道\(DP\)的好题.

定义状态\(f[i][j][k]\)表示用前\(k\)种颜色占领了任意\(i\)\(j\)列.

\(a[k]\)表示第\(k\)种颜色的棋子的个数.

转移很显然是\[f[i][j][k]=\sum_{l=0}^{i-1}\sum_{r=0}^{j-1}f[l][r][k-1]*C_{n-l}^{i-l}*C_{m-r}^{j-r}*用a[k]个棋子占领任意i-l行j-r列的方案数\]

那么我们再定义状态\(g[i][j][k]\)表示用\(k\)个相同颜色的棋子占领任意\(i\)\(j\)列的方案数,直接算不太好算,我们可以考虑容斥:\[g[i][j][k]=C_{i*j}^k-\sum_{l=0}^{i}\sum_{r=0}^{j}g[l][r][k]*C_{i}^{l}*C_{j}^{r},(l \not= i \ ||\ r \not= j)\]

预处理了\(g\)数组,就可以对\(f\)数组转移了:\[f[i][j][k]=\sum_{l=0}^{i-1}\sum_{r=0}^{j-1}f[l][r][k-1]*C_{n-l}^{i-l}*C_{m-r}^{j-r}*g[i-l][j-r][a[k]]\]

因为不一定要放满整个棋盘,所以\[ans=\sum_{l=1}^n\sum_{r=1}^mf[i][j][c]\]

其实还可以用滚动数组滚掉\(g\)数组的最后一维.

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 30+5;
const int COL = 10+5;
const int K = 250+5;
const int mod = 1e9+9;

int n, m, C, a[N], c[1000][1000], ans = 0;
int f[N][N][COL], g[N][N][1000];
// f : k types of col occupied any i lines, j rows
// g : same type k chess piece occupied any i lines, j rows

int main(){
    cin >> n >> m >> C;
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    f[0][0][0] = c[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 900; i++){
        c[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= i; j++) c[i][j] = (c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
    }
    for(int k = 1; k <= C; k++)
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                if(a[k] > i*j) continue; int res = 0;
                g[i][j][a[k]] = c[i*j][a[k]];
                for(int l = 1; l <= i; l++)
                    for(int r = 1; r <= j; r++)
                        if(l < i || r < j) (res += 1ll*c[i][l]*c[j][r]%mod*g[l][r][a[k]]%mod) %= mod;
                g[i][j][a[k]] = (g[i][j][a[k]]-res+mod)%mod;
            }
    for(int k = 1; k <= C; k++)
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= m; j++)
                for(int l = 0; l < i; l++)
                    for(int r = 0; r < j; r++)
                        (f[i][j][k] += 1ll*c[n-l][i-l]*c[m-r][j-r]%mod*g[i-l][j-r][a[k]]%mod*f[l][r][k-1]%mod) %= mod;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++) (ans += f[i][j][C]) %= mod;
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/BCOI/p/10491544.html

资源下载链接为: https://pan.quark.cn/s/1bfadf00ae14 在 Linux 系统中,查找域名或主机名对应的 IP 地址是网络管理中的一项基础关键任务,对于排查网络故障、调试网络问题以及监控网络服务是否正常运等场景都非常重要。本文将介绍五种在 Linux 终端查询域名 IP 地址的方法。 首先,dig 命令(全称 Domain Information Groper)是一个功能强大的 DNS 查询工具,能够向 DNS 服务器发送查询请求并获取详细的响应信息。如果需要查询单个域名的 IP 地址,可以使用命令 dig 2daygeek.com +short 。此外,还可以通过编写 bash 脚本,将包含域名的文本文件中的域名逐个读取,然后利用 dig 命令进查询,从而实现批量查询域名 IP 地址的功能。 其次,host 命令是一个简单易用的 DNS 查询工具,主要用于将域名解析为 IP 地址。要获取某个域名的 IP 地址,直接使用 host 2daygeek.com 即可。如果只想显示 IP 地址部分,可以通过管道结合 grep 和 sed 命令来实现,例如:host 2daygeek.com | grep "has address" | sed s/has address/-/g 。 再者,nslookup 命令也是一种常用的 DNS 查询工具,它支持交互式查询 DNS 信息。通过 nslookup 2daygeek.com 可以查询域名的 IP 地址。若要以非交互式的方式只显示 IP 地址,可以使用命令 nslookup 2daygeek.com | awk /^Address:/ {print $2} 。 另外,fping 命令与传统的 ping 命令不同,它不会直接进 DNS 查询,而是通过发送 ICMP Echo Request(pi
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