70、变电站规划与雷达目标识别的高效算法研究

变电站规划与雷达目标识别的高效算法研究

1. 变电站规划的加权 k - 均值算法

在变电站规划问题中，可将其视为聚类问题。通过加权 k - 均值算法来迭代解决变电站的位置和连接问题，目标函数为投资成本。

1.1 无效解的衡量

变电站规划问题存在一些约束条件，一旦这些条件不满足，加权 k - 均值得到的解就是无效的。具体情况如下：
- 当负载值超过变电站容量时，表明该区域过载，需要在此处设置更大容量的变电站或增加变电站数量。
- 当负载与变电站之间的距离超过最大允许供电半径时，说明该区域负载密度低且初始位置较远，可以移动最近的变电站来改善情况。最多进行 3 次纠正措施，如果仍无法改善，则放弃该解。

1.2 与其他算法的比较

为评估加权 k - 均值算法的性能，将其与 PSO 算法进行了对比，结果如下表所示：
| 示例 | PSO 算法 | | 加权 k - 均值算法 | |
| — | — | — | — | — |
| | 时间 (s) | 投资 (百万) | 时间 (s) | 投资 (百万) |
| 案例 1: 50 负载 | 5.4 | 5.45 | 3.3 | 4.71 |
| 案例 2: 100 负载 | 12.6 | 14.57 | 8.2 | 13.56 |
| 案例 3: 150 负载 | 18.0 | 20.05 | 11.1 | 18.67 |
| 案例 4: 400 负载 | 50.8 | 55.43 | 29.2 | 52.62 |

从表中可以看出，加权 k - 均值算法的计算时间比 PSO 算法短，并且随着问题规模的增大，这种优势会更加明显。同时，加权 k - 均值算法具有更好的适应度值，即投资更少。

2. 合成孔径雷达自动目标识别的 2DMCSD 算法

在合成孔径雷达自动目标识别领域，提出了一种名为二维最大聚类散度判别分析（2DMCSD）的新特征提取方法。

2.1 背景与动机

经典的 Fisher 线性判别分析（FLDA）在处理高维小样本问题时，由于类内散度矩阵通常是奇异的，导致无法直接使用。为解决这个问题，人们提出了多种方法，但都存在一定的局限性。例如，PCA - FLDA 方法会丢失一些有用的判别信息；MSD 方法虽然避免了奇异问题，但在处理多模态分布时效果不佳；2DCDA 方法虽然结合了多聚类结构建模和二维子空间分析的优势，但仍需要计算逆矩阵，在小样本情况下逆矩阵通常是奇异的。

2.2 2DMCSD 算法原理

假设存在 c 个类别的 M 个训练图像，对于每个类别，有相应的聚类结构。2DMCSD 算法基于这些训练图像，计算最优投影向量 ϕ，以最大化投影样本的类间聚类散度和类内聚类散度之差。具体公式如下：
- 目标函数：
[
J_{2DMCSD}(\phi)=\arg\max\left[\text{tr}(P_B)-\text{tr}(P_W)\right]
]
其中，$P_B$ 和 $P_W$ 分别是投影样本的类间聚类散度矩阵和类内聚类散度矩阵，定义如下：
[
P_B=\sum_{j = 1}^{c}\sum_{l = 1}^{d_j}\sum_{i = 1}^{d_j}\sum_{h = 1}^{d_j}p_{j,i}p_{j,h}(\mathbf{y} {j,i}-\mathbf{y} {j,h})(\mathbf{y} {j,i}-\mathbf{y} {j,h})^T=\sum_{j = 1}^{c}\sum_{l = 1}^{d_j}\sum_{i = 1}^{d_j}\sum_{h = 1}^{d_j}p_{j,i}p_{j,h}(\mathbf{I} {j,i}-\mathbf{I} {j,h})\phi\phi^T(\mathbf{I} {j,i}-\mathbf{I} {j,h})^T
]
[
P_W=\sum_{j = 1}^{c}\sum_{i = 1}^{d_j}\sum_{k = 1}^{N_{j,i}}(\mathbf{y} {j,i,k}-\mathbf{y} {j,i})(\mathbf{y} {j,i,k}-\mathbf{y} {j,i})^T=\sum_{j = 1}^{c}\sum_{i = 1}^{d_j}\sum_{k = 1}^{N_{j,i}}(\mathbf{I} {j,i,k}-\mathbf{I} {j,i})\phi\phi^T(\mathbf{I} {j,i,k}-\mathbf{I} {j,i})^T
]
- 进一步推导可得：
[
J_{2DMCSD}(\phi)=\arg\max\left(\phi^T\mathbf{C}_B\phi-\phi^T\mathbf{C}_W\phi\right)
]
其中，$\mathbf{C}_B$ 和 $\mathbf{C}_W$ 分别是训练样本的类间聚类散度矩阵和类内聚类散度矩阵。最优投影轴 ϕ 是以下广义特征值问题的最大特征值解：
[
(\mathbf{C}_B - \mathbf{C}_W)\phi=\gamma\phi
]

一般情况下，一个投影轴不足以进行多类分类任务，通常选择对应于矩阵 $\mathbf{C} B - \mathbf{C}_W$ 的前 r 个最大特征值的特征向量 $\phi_1,\cdots,\phi_r$ 组成投影矩阵 $\mathbf{W} {2DMCSD}=[\phi_1,\cdots,\phi_r]$。对于图像 $\mathbf{I}$，其 2DMCSD 特征矩阵 $\mathbf{C}$ 可通过以下公式得到：
[
\mathbf{C}=[\mathbf{a} 1,\cdots,\mathbf{a}_r]=(\mathbf{I}-\overline{\mathbf{I}})\mathbf{W} {2DMCSD}
]

在 2DMCSD 算法中，使用 2D 快速全局 k - 均值聚类算法进行聚类，该算法克服了 2D k - 均值聚类算法依赖初始条件且不能保证全局最优的缺点，具有确定性、全局最优且不依赖初始条件的优点。

mermaid 流程图如下：

graph LR
    A[输入训练图像] --> B[2D 快速全局 k - 均值聚类]
    B --> C[计算类间和类内聚类散度矩阵]
    C --> D[求解广义特征值问题]
    D --> E[选择前 r 个特征向量组成投影矩阵]
    E --> F[对图像进行特征提取]

2.3 分类方法

本文使用基于欧几里得距离的最近邻分类器（NNC）进行分类。对于测试图像 $\mathbf{I}$ 和第 $i$ 个训练图像 $\mathbf{I} i$，它们的 2DMCSD 特征分别表示为 $\mathbf{C}=[\mathbf{a}_1,\cdots,\mathbf{a}_r]$ 和 $\mathbf{C}_i=[\mathbf{a} {i1},\cdots,\mathbf{a} {ir}]$，则它们之间的距离定义为：
[
d(\mathbf{C},\mathbf{C}_i)=\sum {k = 1}^{r}|\mathbf{a} k-\mathbf{a} {ik}|^2
]

2.4 实验结果

为评估 2DMCSD 算法的性能，在移动和静止目标获取与识别（MSTAR）公共数据库上进行了实验，识别三种类型的地面车辆（BMP2、BTR70 和 T72）。实验步骤如下：
1. SAR 图像预处理 ：
- 对数变换 ：将原始图像的幅度矩阵 $F$ 进行对数变换，公式为 $G(x,y)=10\lg[F(x,y)+0.001]+30$，以减少斑点噪声的影响。
- 自适应阈值分割 ：估计当前图像 $G$ 的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma$，根据阈值 $c_1$（从训练样本统计得到，$c_1 = 0.9$）将图像分割为目标区域 $T_{ar}$ 和背景区域 $B_{ac}$。
- 形态学滤波和几何聚类操作 ：对阈值分割结果进行形态学滤波，去除小的非目标区域，然后进行几何聚类操作，找到最大的区域作为目标区域，将其覆盖在对数图像 $G$ 上得到目标强度图像 $H$。
- 图像增强和归一化 ：使用幂律变换 $K(x,y)=[H(x,y)]^{\alpha}$ 增强图像质量，然后对目标图像进行归一化处理，公式为 $J(x,y)=\frac{K(x,y)}{\sum_{x,y}K(x,y)}$。最后对归一化图像进行 2DFFT，只使用傅里叶幅度的一半作为特征提取的输入。
2. 特征提取与分类 ：
- 使用 2D 快速全局 k - 均值聚类算法为每个类别找到合适的聚类，然后进行特征提取，得到投影矩阵。
- 将预处理后的 SAR 图像投影到投影矩阵上，得到训练和测试样本的特征。
- 使用最近邻分类器（NNC）进行分类。

实验结果如下表所示：
| 方法 | 识别率（特征维度） |
| — | — |
| 2DPCA | 0.9698（128×8） |
| 2DLDA ($\lambda_{max}=u$) | 0.9647（128×8） |
| 2DCDA ($\lambda_{max}=u$) | 0.9715（$k_{max}=3$，128×10） |
| 2DMCSD | 0.9715（$k_{max}=2$，128×8） |

从表中可以看出，2DCDA 和 2DMCSD 的最高识别率高于 2DPCA 和 2DLDA，因为 2DPCA 和 2DLDA 假设每个类别的数据潜在分布是单峰的，而 2DCDA 和 2DMCSD 可以处理多模态分布问题，考虑了单个类内可能存在的多个聚类结构。同时，2DLDA 和 2DCDA 需要计算类内或类内聚类散度矩阵的逆矩阵，在小样本问题中逆矩阵通常不存在，需要添加正则化常数；而 2DMCSD 避免了小样本问题和逆矩阵的计算，因此更加有效。

图 4 展示了 2DCDA 和 2DMCSD 的最大识别率随聚类数 $k_{max}$ 的变化曲线。从图中可以看出，虽然 2DMCSD 的最高识别率与 2DCDA 相当，但由于避免了小样本问题和逆矩阵的计算，2DMCSD 仍然优于 2DCDA。

综上所述，加权 k - 均值算法在变电站规划问题中表现出计算时间短、投资少的优势；2DMCSD 算法在合成孔径雷达自动目标识别中能够有效处理高维小样本和多模态分布问题，具有较高的识别率和计算效率。这两种算法为相关领域的实际应用提供了有效的解决方案。

mermaid 流程图如下：

graph LR
    A[原始 SAR 图像] --> B[对数变换]
    B --> C[自适应阈值分割]
    C --> D[形态学滤波和几何聚类操作]
    D --> E[图像增强和归一化]
    E --> F[2DFFT]
    F --> G[2D 快速全局 k - 均值聚类]
    G --> H[特征提取]
    H --> I[最近邻分类器分类]