7、L-粗糙集理论中的概念格研究

L-粗糙集理论中的概念格研究

1. 预备知识

在深入探讨L - 粗糙集理论中的概念格之前，我们需要了解一些与之相关的基础概念。

1.1 R. B˘elohl´avek引入的概念格

L - 集的概念是Zadeh经典模糊集概念的推广。假设X和Y是分别带有L - 相等关系≈X和≈Y的集合，I是X和Y之间与≈X和≈Y兼容的L - 关系。定义如下两个映射：
- ↑I : LX → LY，对于A ∈ LX，A↑I(y) = ⋀x∈X (A(x) → I(x, y))。
- ↓I : LY → LX，对于B ∈ LY，B↓I(x) = ⋀y∈Y (B(y) → I(x, y))。

此时，⟨X, Y, I⟩被称为形式L - 上下文。若A↑I = B且B↓I = A，则⟨A, B⟩被称为⟨X, Y, I⟩中的一个概念。其中，A称为概念的外延，B称为概念的内涵。β(X, Y, I) = {⟨A, B⟩ | ⟨A, B⟩是一个概念} 被称为⟨X, Y, I⟩中的形式概念格。

对于⟨A1, B1⟩, ⟨A2, B2⟩ ∈ β(X, Y, I)，R. B˘elohl´avek定义了S(⟨A1, B1⟩, ⟨A2, B2⟩) = S(A1, A2) = S(B2, B1) 以及 (⟨A1, B1⟩ ≈ ⟨A2, B2⟩) = (A1 ≈ A2)。同时，对于{⟨Ai, Bi⟩} ⊆ β(X, Y, I)，还定义了交和并运算：
- ⋀i ⟨Ai, Bi⟩ = ⟨⋀i Ai, (⋀i Ai)↑⟩ = ⟨⋀i Ai, (⋁i Bi)↓↑⟩
- ⋁i ⟨Ai, Bi⟩ = ⟨(⋀i Bi)↓, ⋀i Bi⟩ = ⟨(⋁i Ai)↑↓,