南京理工大学第八届程序设计大赛triple

最新推荐文章于 2024-12-18 13:55:57 发布

单木

最新推荐文章于 2024-12-18 13:55:57 发布

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分类专栏：题解

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/define_danmu_primer/article/details/51189160

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本文介绍了一道数论题目的解决方法，该题目要求在一定范围内找出三个最大公约数为特定值且各不相同的数的组合数量。通过分析，发现直接使用质因子的容斥原理效率较低，因此采用莫比乌斯反演进行优化，显著提高了算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：https://icpc.njust.edu.cn/Contest/749/D/

题目大意：在一定范围内找出三个最大公约数为m且各不相同的数，问有多少中情况。

解题思路：刚开始的时侯用容斥写，因为对于这个题而言质因子的分布在1到10的5次方，所以就有大概9千多个质数，而我写的容斥是n^2的，所以就超时，所以这题不能用质因子去容斥，而直接用n的因子，时间复杂度更低。所以n^2的容斥对某一个数的筛选表现更好，因为一个数的质因子很少。后来用莫比乌斯反演写了一发，果然快多了。F(m)=n/m*(n/m-1)*(n/m-2)。

莫比乌斯反演：

/* ********************************
Author			: danmu
Created Time	: 2016年04月17日 星期日 23时28分00秒
File Name		: triple.cpp

Vim Command
copy -> yy
paste -> p P
del this line -> dd
Ctrl-Z -> u U
copy into system -> "+y
******************************** */

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <list>
#include <map>
#include <set>

#define ULL unsigned long long
#define PI 3.1415926535
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LL long long
#define eps 1e-8
#define MAX 100000
using namespace std;
bool vis[MAX+10];  
int mu[MAX+10],prime[MAX+10],cnt;  
void mobi(int n){  
    memset(vis,false,sizeof(vis));  
    mu[1]=1;  
    cnt=0;  
    for(int i=2;i<=n;++i){  
        if(!vis[i]){  
            prime[cnt++]=i;  
            mu[i]=-1;  
        }  
        for(int j=0;j<cnt&&i*prime[j]<=n;++j){  
            vis[i*prime[j]]=1;  
            if(i%prime[j]) mu[i*prime[j]]=-mu[i];  
            else{  
                mu[i*prime[j]]=0;  
                break;  
            }  
        }  
    }  
}  
int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	//freopen("out.txt", "w", stdout);
	int t;
	mobi(100000);
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		int n,m;
		LL ans=0;
		scanf("%d%d",&n,&m);
		LL tmp=n/m;
		/*if(tmp<3){
			printf("0\n");
			continue;
		}*/
		for(int i=1;i<=tmp;++i)
			ans+=mu[i]*(tmp/i*(tmp/i-1)*(tmp/i-2)/6);
		printf("%lld\n",ans);
	}	
	return 0;
}