小波变换网文精粹：小波变换和motion信号处理(十)

小波变换网文精粹：小波变换和motion信号处理(十)

转自：http://www.kunli.info/2011/02/18/fourier-wavelet-motion-signal-2/

（十）多分辨分析方程

        下面就是时候看看什么是多分辨分析方程(MRA equation)了，这是更加有趣，也是更加核心的地方。通过刚才的讲解，V0属于V1，那scaling function是在V0中的，自然也在V1中了。我们把他写成V1的基的线性组合，那就是

其中的h(n)是scaling function的系数，也叫做scaling filter或者scaling vector，可以是实数，也可以是虚数。根号2是为了维持norm为1的。看，在这个公式里，我们就把属于V0的函数用V1的基表示出来了。同理，我们可以循环如此，把属于V0的在V2, V3, …, Vn中表示出来。这些方程就是MRA equation，也叫refinement equation，它是scaling function理论的基础，也是小波分析的基础之一。

        好，稍微总结一下。到现在，已经讲了关于scaling function的基本理论知识，知道了信号空间可以分为不同精细度的子空间，这些子空间的basis集合就是scaling function或者频率变换之后的scaling function，如下图所示：

                              

 上图就是四个子空间的basis集合的展览。通过前面的讨论，我们还知道，一开始的scaling function可以通过更精细的子空间的scaling function（它们都是对应子空间的basis）来构建。比如

                    

 对于更加finer的scale：

                  

                                                         图2

依此类推。实际上，对于任何scale和translate过的scaling function，都可以用更加精细的scale层面上的scaling function构建出来。

然后，我们有各种scale下的scaling function了，该看看它们分别所对应的嵌套的空间序列 了。先看看V0，自然就是以基本的scaling function为基础去span出来的：

这个不新鲜，刚才就讲过了。这个子空间代表什么样的信号？常量信号。道理很简单，这个scaling function在整个信号长度上，没有任何变化。继续往下看：

 

这个相比V0更加finer的子空间，代表着这样一种信号，它从1-4是常量，从5-8是另一个常量。同理我们有：

V2代表的信号，是分别在1，2; 3，4; 5，6; 7，8上有相同值的信号。那么V3呢？则表示任何信号，因为对于V3来讲，任何一个时间刻度上的值都可以不一样。而且现在，我们也可以通过上面的一些scaling functions的波形验证了之前提到的多解析度分析中的一个核心性质，那就是：

 我们之前讲了一堆多解析度的理论，但直到现在，通过这些图形化的分析，我们可能才会真正理解它。那好，既然我们有一个现成的信号，那就来看看，对这个信号作多解析度分析是啥样子的：

                    

 
你看，在不同的子空间，对于同一个信号就有不同的诠释。诠释最好的当然是V3，完全不损失细节。这就是多解析度的意义。我们可以有嵌套的，由scaling function演变的basis function集合，每一个集合都提供对原始信号的某种近似，解析度越高，近似越精确。