小波变换网文精粹：小波变换和motion信号处理(三)

小波变换网文精粹：小波变换和motion信号处理(三)

转自：http://www.kunli.info/2011/02/15/fourier-wavelet-motion-signal-1/

三、傅立叶变换基础

        傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于function space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样

                

again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？

        现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合：

                

那什么是function正交呢？假设我们有两个函数f(x)和g(x)，那是什么？我们遵循vector的思路去想，两个vector求内积，就是把他们相同位置上对应的点的乘积做一个累加。那移过来，就是对每一个x点，对应的f和g做乘积，再累加。不过问题是，f和g都是无限函数阿，x又是一个连续的值。怎么办呢？向量是离散的，所以累加，函数是连续的，那就是…….积分！

            

我们知道函数内积是这样算的了，自然也就容易证明，按照这个形式去写的傅立叶展开，这些级数确实都是两两正交的。证明过程这里就不展开了。好，下一个问题就是，为什么它们是正交basis如此重要呢？这就牵涉到系数的求解了。我们研究了函数f，研究了级数，一堆三角函数和常数1，那系数呢？a0, a1, a2这些系数该怎么确定呢？好，比如我这里准备求a1了。我现在知道什么？信号f(x)是已知的，傅立叶级数是已知的，我们怎么求a1呢？很简单，把方程两端的所有部分都求和cosx的内积，即：

             

然后我们发现，因为正交的性质，右边所有非a1项全部消失了，因为他们和cosx的内积都是0！所有就简化为：

            

这样，a1就求解出来了。到这里，你就看出正交的奇妙性了吧:)

        好，现在我们知道，傅立叶变换就是用一系列三角波来表示信号方程的展开，这个信号可以是连续的，可以是离散的。傅立叶所用的function basis是专门挑选的，是正交的，是利于计算coefficients的。但千万别误解为展开变换所用的basis都是正交的，这完全取决于具体的使用需求，比如泰勒展开的basis就只是简单的非正交多项式。