小波变换网文精粹：小波变换教程(四)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/35943136200910593251418/

四、为什么我们需要频率信息（2）？

让我们再看一个例子，图1.5显示了一个包含四个频率分量的信号，它们分别在不同时刻出现，因此这是一个非平稳信号。0-300ms时是一个100Hz的正弦波，300-600ms时则是一个50Hz的正弦波，600-800ms时是一个25Hz的正弦波，最后的200ms内是一个10Hz正弦波。

图1.5

下图是它的傅立叶变换：

图1.6

不要担心图中出现那些毛刺，那是由于信号中频率的突变引起的，在这篇文章里这些没有意义。注意到那些高频分量的幅度比低频分量大，这是因为高频信号比低频信号持续时间更长一些(分别为300ms和200ms)（信号中各频率分量的确切值并不重要）。

除了那些毛刺，图中的一切看起来都是正常的，有四个尖峰，对应原始信号中的四个频率分量，应该是正确的…

错！

当然了，也不完全错，但起码不完全对。对图1.2，考虑以下问题：各个频率分量都是在什么时刻出现的？

答案是

在所有时刻！还记得平稳信号吗？所有频率分量在信号的整个周期内一直存在，10Hz的信号一直存在，50Hz的信号亦然，100Hz的信号亦然。

现在，让我们来考虑一下图1.4或1.5展示的非平稳信号。

各个频率分量都是在什么时刻出现的？

对于图1.6来说，我们知道，在第一个时间段内出现的是最高频率的分量，在最后一个时间段内出现的是最低频率的分量。图1.5中信号的频率分量一直在变，因此，对这些信号来说，各个频率分量并没有出现在任意时刻。

现在，比较一下图1.3和1.6，二者的相似之处是显而易见的，在图中都显示了四个几乎一样的频率分量，即10，25，50和100Hz。除了1.6中的那些毛刺和两幅图中各频率分量的幅值（这些幅值可以做归一化处理），两幅频谱图几乎是一致的，虽然相应的时域信号之间差别很大。两个信号都包含了相同的频率分量，但是前者中的各频率分量出现在信号的整个周期内，而后者的频率分量则在不同的时间段内出现。那么，是什么导致两个完全不同的原始信号经傅立叶变换后的波形这么相像呢？回想一下，傅立叶变换仅仅给出了信号的频谱分量，但是却没有给出这些频谱分量的出现时间。因此，对于非平稳信号来说，傅立叶变换是不合适的，但有一个例外：

只有当我们仅仅关心信号中是否包含某个频率分量而不关心它出现的时间的时候，傅立叶变换才可以用于处理非平稳信号。但是，如果这些信息是我们需要的（假设），如果我们想知道频率分量出现的确切时间，傅立叶变换就不是合适的选择了。

对实际应用来说，很难把两者的区分开来，因为现实中平稳的和非平稳的信号都很多。举例来说，几乎所有的生物信号都是非平稳的，这其中著名的就是心电图(ECG)、脑电图(EEG)和肌电图(EMG)。

请注意，傅立叶变换仅仅给出了信号的频率分量信息，仅此而已，无它。

当需要对频谱分量进行时间定位时，则需要一个可以得到信号的时频表示的数学变换。

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