hdu1402--大数相乘(FFT)

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原文链接：http://www.cnblogs.com/wangsouc/articles/3658625.html

本文深入探讨了快速傅立叶变换（FFT）算法的核心原理，包括旋转因子的周期性和对称性的利用，以及如何通过从叶子节点到根的计算方式节省空间。提供了详细的C++实现代码，展示了FFT在多项式乘法中的应用。

FFT之所以奇妙是因为它充分利用了旋转因子的周期性和对称性，加快了计算时间。

从叶子节点到根计算而不是从根节点递归求解大大节省了空间。

  1 #include <stdio.h>
  2 #include <string.h>
  3 #include <math.h>
  4 #include <algorithm>
  5 using namespace std;
  6 #define maxn 50050
  7 #define PI acos(-1.0)
  8 #define eps 0.001
  9 char str[maxn];
 10 
 11 struct Complex{
 12      double a, b;
 13 
 14      Complex(double _a=0.0,double _b=0.0):a(_a),b(_b){}
 15 
 16      Complex operator + (const Complex &c) const{
 17           return Complex(a + c.a, b + c.b);
 18      }
 19 
 20      Complex operator - (const Complex &c) const{
 21           return Complex(a - c.a, b - c.b);
 22      }
 23      Complex operator * (const Complex &c) const{
 24           return Complex(a * c.a - b * c.b, a * c.b + b * c.a);
 25      }
 26 };
 27 
 28 Complex x[maxn * 4], y[maxn * 4];
 29 
 30 void change(Complex A[] , int len) {
 31     for (int i = 1 , j = len / 2 ; i < len -1 ; i ++) {
 32         if (i < j) swap(A[i], A[j]);
 33         int k = len / 2;
 34         while (j >= k) {
 35             j -= k;
 36             k /= 2;
 37         }
 38         if(j < k) j += k;
 39     }
 40     return ;
 41 }
 42 
 43 void FFT(Complex A[], int n, int flag){
 44      change(A, n);
 45      for(int h = 2; h <= n; h <<= 1){
 46           Complex wn = Complex(cos(-flag * 2 * PI / h), sin(-flag * 2 * PI / h));
 47           for(int i = 0; i < n; i += h){
 48                Complex w = Complex(1, 0);
 49                for(int j = i; j < i + h / 2; j++)
 50                {
 51                     Complex s = Complex(A[j].a, A[j].b);
 52                     Complex t = w * A[j + h / 2];
 53                     A[j] = s + t;
 54                     A[j + h / 2] = s - t;
 55                     w = w * wn;
 56                }
 57           }
 58      }
 59      if(flag == -1){
 60           for(int i = 0; i < n; i++)
 61           {
 62                A[i].a /= n;
 63           }
 64      }
 65      return ;
 66 }
 67 
 68 int ans[maxn * 4];
 69 
 70 int main()
 71 {
 72      while(scanf("%s", str) != EOF)
 73      {
 74           int len1 = strlen(str);
 75 
 76           for(int i = 0; i < len1; i++){
 77                x[i] = Complex(str[len1 - 1 - i] - '0', 0);
 78           }
 79 
 80           scanf("%s", str);
 81           int len2 = strlen(str);
 82 
 83           for(int i = 0; i < len2; i++){
 84                y[i] = Complex(str[len2 - 1 - i] - '0', 0);
 85           }
 86 
 87           int l1 = 1, l2 = 1;
 88           while(l1 < len1 * 2){l1 <<= 1;}
 89           while(l2 < len2 * 2){l2 <<= 1;}
 90           int l = max(l1, l2);
 91           for(int i = len1; i < l; i++){
 92                x[i] = Complex(0, 0);
 93           }
 94           for(int i = len2; i < l; i++){
 95                y[i] = Complex(0, 0);
 96           }
 97           FFT(x, l, 1);
 98           FFT(y, l, 1);
 99           for(int i = 0; i < l; i++){
100                x[i] = x[i] * y[i];
101           }
102           FFT(x, l, -1);
103           memset(ans, 0, sizeof(ans));
104           int f = 0;
105           for(int i = 0; i < l; i++){
106                int tmp = int(x[i].a + eps) + f;
107                ans[i] = tmp % 10;
108                f = tmp / 10;
109           }
110           int ok = 0;
111           l = len1 + len2;
112           while(ans[l] == 0 && l > 0) l--;
113           for(int i = l; i >= 0; i--){
114                printf("%d", ans[i]);
115           }
116           printf("\n");
117      }
118      return 0;
119 }

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