gdut - GG的偶像

题目描述

GG有一个偶像，他叫高斯。没错，就是那个 不用循环语句就会计算1+2+3+4+…+100的小学生，GG对高斯简直是崇拜到了极点，最喜欢的定理是高斯定理，最喜欢的函数是高斯函数，最喜欢的人。。。，没错，阿翔你猜对了，GG最喜欢的人就是高斯欧巴啦！于是问题来了，GG也自己发明了一个函数f(x),f(x)是这样定义的f（x） = 1+2+3+…+x；是不是很简单啊！ 不过如果你这样认为那你就小看GG啦！GG为了炫耀自己，他再发明了一个函数g（n），g（n）= f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(n);

输入

T组数据，（T<=10000）每组一个整数n(n<=1000000)。

输出

对于每组数据，输出“Case #x：g(n) % mod”，x为第x组（mod = 1000000007）；

样例输入

2
1
2

样例输出

Case #1: 1
Case #2: 4

来源

广东工业大学ACM集训队新手选拔赛

题解

解题过程

• 公式推导
  
  • 由
    g(1)=1,g(2)=4,g(3)=10,g(4)=10.
  • 知
    g(n)-g(n-1)=(n+1)n/2=1/2(n+n^2)
    ……
    g(3)-g(2)=6=1/2*(3+3^2)
    g(2)-g(1)=3=1/2*(2+2^2)
  • 所以
    g(n)-g(1)=1/2*（（n-1）（n+2）/2）+n（n+1）*（2*n+1）/6 - 1）
    g(n)=n*(n+1)/4+n*(n+1)*(2*n+1)/12
  • 注：等差和公式和平方和公式 戳这<<
  • 得到公式不能直接计算，因为对于除法取模要逆元法。详情 戳这<<

AC代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int mod=1e9+7;
LL pow_mod(LL a,LL b,LL p){//快速幂取模
    LL ans=1,base=a;
    while(b>0){
        if(b&1) //n%2==1
            ans=ans*base%p;
        base=base*base%p;
        b>>=1;// b/=2
    }
    return ans;
}
LL fermat(LL a,LL b)//费马
{
    return pow_mod(a,b-2,b);
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    LL inv4=fermat(4,mod);//预处理逆元4和12
    LL inv12=fermat(12,mod);
    LL n;
    for(int cas=1;cas<=T;++cas){
        scanf("%lld",&n);
        LL ans=(int)((double)n/4*(n+1)+(double)n/12*(n+1)*(2*n+1))%mod;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas,ans);
    }
    return 0;
}