算法基础(4)动态规划之最长子序列

一、动态规划的基本思想

1.与分治相同的部分：将待求解的问题分解成若干子问题，先求子问题的解，再将这些子问题合并成原问题的解

2.与分治不同的部分：分解的子问题互相之间并不独立,即子问题包含了公共的子子问题。动态规划算法将子子问题只计算一次，其结果保存在一个表格中，从而避免每次遇到都要重复计算。

3.动态规划主要用于最优化问题，主要步骤如下：

a.刻画最优解的结构；

b.用递归的方式定义最优解；

c.按自底向上的方式计算最优解的值；

d.由计算结果构造一个最优解。

二、最长公共子序列问题

若给定序列X = {x1,x2,...,xm},则存在严格递增的下标<i1,i2,..,ik>,使得xij=zj，序列Z= {z1,z2,...,zk}为X的子序列。简单的说，就是原序列删除几个元素，且保持元素的顺序不变。子序列如子串不同，子串要求连续。

若Z既是X的子序列，也是Y的子序列，则称Z为X,Y的公共子序列。

例如：X={ A,B,C,B,D,A,B},Y = {B,D,C,A,B,A}.则最长公共子序列（LCS）为Z = {B,C,A,B}.

好了，问题描述清楚了，怎么找到两个序列的LCS呢？当然可以分别穷举两个序列的子序列，然后找到相同的中最长的。但是复杂度高。我们用动态规划的方法解下这个问题。

首先，该问题有最优子结构的性质：

设X=<x1,x2,...,xm>,Y = <y1,y2,...,yn>,且X,Y的LCS为Z = <z1,z2,...,zk>

(1) 若xm=yn，则zk = xm = yn，Zk-1为Xm-1和Yn-1的LCS

(2) 若xm！=yn，且zk！=xm，则Zk为Xm-1和Y的LCS

(3) 若xm！=yn，且zk！=yn，则Zk为X和Yn-1的LCS

由以上性质可以看出，要找X,Y 的LCS，先找Xm-1，Y的LCS,再找X,Yn-1的LCS，然后取两者较长的。可以明显看出子问题中重叠的部分，即都要找出Xm-1和Yn-1的LCS。

由LCS问题的最优子结构可得递归式，定义c[i,j]为Xi，Yj的LCS长度

用b[i,j]记录是通过哪一个子问题求解的，即图中的箭头。

最后构造一个LCS：从右下角回溯，沿着箭头方向，遇到斜向上的箭头表明有一个使xi=yj的LCS成员。

三、代码

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])

    int i, j;
    
    for(i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for(i = 1; i<= m; i++)
    {
        for(j = 1; j <= n; j++)
        {
            if(x[i-1] == y[j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
            {
                c[i][j] = c[i-1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j-1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if(i == 0 || j == 0)
        return;
    if(b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i-1, j-1);
        printf("%c ", x[i-1]);
    }
    else if(b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i-1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j-1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;
    
    m = strlen(x);
    n = strlen(y);
    
    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);
    
    return 0;
}