线性推逆元法

给你一个p，要你求出1~p-1所有数在模p下的逆元。

一个一个用扩展欧几里得求？如果p特别大，不就超时了？我们想要在线性的时间复杂度内求出逆元。

这种方法只能在p为质数的情况下使用。

首先有$1^{-1}\equiv 1(mod\ p)$

设$p=iq+r(0<r<p)$，在模p意义下得$iq+r\equiv 0(mod\ p)$。

两边同时乘$i^{-1}$和$r^{-1}$得：$$qr^{-1}+i^{-1}\equiv 0(mod\ p)$$

$$i^{-1}\equiv -qr^{-1}(mod\ p)$$

$$i^{-1}\equiv -\lfloor \frac{p}{i}\rfloor (p\ mod\ i)^{-1}(mod\ p)$$

$$i^{-1}\equiv (p-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor)(p\ mod\ i)^{-1}(mod\ p)$$

所以我们只要线性推一下即可。时间复杂度$\theta(n)$

所以代码如下：

inv[1]=1;
for(int i=2;i<p;++i)
inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

 

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