行严格对角占优矩阵——一道矩阵代数作业题

最新推荐文章于 2020-12-25 01:43:15 发布

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#严格对角占优矩阵

本文详细介绍了如何证明行严格对角占优矩阵的行列式性质，即其绝对值不小于各元素差的乘积。通过矩阵F的定义，结合Gerschgorin圆盘定理，利用特征值和特征向量的关系，最终得出结论。同时，扩展到列严格对角占优矩阵的情况。

今年（2018年）11月20日的矩阵代数课上老师布置了一道课后作业题，题目如下：
已知矩阵 $A=(aij)∈Cn×nA=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 为行严格对角占优矩阵，记
$Hi=∣aii∣−∑j=1,j≠in∣aij∣(1)H_i=\left\lvert a_{ii}\right\rvert -\sum _{j=1, j\neq i}^n \left\lvert a_{ij}\right\rvert \qquad (1)$
其中 $i, j = 1, . . ., n$ ，则有 $H_i>0$ 。
证明：
$abs∣A∣≥H1H2...Hn(2)abs\left\lvert A\right\rvert \ge H_1 H_2 ...H_n\qquad (2)$
其中， $∣A∣\left\lvert A\right\rvert$ 表示 $A$ 的行列式。

解题时，已知
$\left\lvert A\right\rvert = \prod_{i=1}^n \lambda_i$
则
$abs\left\lvert A\right\rvert = \prod_{i=1}^n \left\lvert \lambda_i \right\rvert$
若对每一个 $H_i$ 都存在一个 $λk\lambda_k$ 使得 $∣λk∣>Hi\left\lvert \lambda_k\right\rvert \gt H_i$ ，则可证得原命题。
因此，首先想到的是Gerschgorin（盖尔）圆盘定理，因为它与(1)式有相似的表达形式，但由于连通域的存在，无法保证保证每个盖尔圆都只有一个特征值，因此该思路不通。
然后就是在网上检索该题目的答案，最后找出来了，在 $F e l i x R . G a n t m a c h e r$ 所著的 $《 M a t r i z e n t h e o r i e 》$ $p 455$ （德语，矩阵论）。
书中给出的证明如下：
定义矩阵 $F=(fij)∈Cn×nF=\left(f_{ij}\right)\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，其中
$f_{ij}=\frac {a_{ij}}{H_i}$

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