7、压缩感知基础：原理、方法与实践

压缩感知基础：原理、方法与实践

1. 压缩感知概述

压缩感知（Compressive Sensing，CS）是一种新兴的信号处理范式，近年来发展迅速。与传统的香农采样定理不同，CS 理论不要求信号必须是带限的，而是要求信号在某个已知基上具有稀疏性。通过这种方式，CS 可以在采样的同时进行压缩，使得每个测量值都包含非冗余信息，从而有可能用比奈奎斯特率少得多的测量值实现无损重建。

1.1 香农采样定理与奈奎斯特率

香农采样定理指出，如果一个时域函数在某个区间内的最高频率不超过 (f_{max})，那么可以通过以 (2f_{max}) 的速率进行等间隔采样来完全确定该函数。这个采样速率通常被称为奈奎斯特率，相应的采样定理也常被称为奈奎斯特 - 香农采样定理。该定理的证明基于这样一个事实：以这个速率采集的时域样本足以确定信号的傅里叶变换，前提是信号的傅里叶变换仅在频率区间 ([-f_{max}, f_{max}]) 内非零。

许多早期的工作与香农采样定理相关。例如，E.T. Whittaker 的插值理论和 K. Ogura 的采样定理都对香农采样定理的发展产生了影响。此外，C. Carathéodory 证明了 (2k + 1) 个样本足以完全确定 (k) 个正权重正弦波的加权和。

由于这些信息论的基本结果，以信号带宽的两倍进行采样成为工程师们避免传感过程中信息丢失的经验法则。然而，香农采样定理是在规则采样和带限信号的假设下得到的，并没有排除使用不同采样方案和对信号更强假设来获得更精确的最小采样数界限的可能性。

1.2 传感时的压缩

随着电子技术的飞速发展，采集的数据量呈指数级增长。例如，数字相机和