题目描述
有一棵n个点的有根树,他有m个叶子结点(叶子结点是那些没有孩子的结点)。边由父亲指向孩子。数字1到m被分配到每一个叶子中。每一个叶子有一个数字,并且每一个数字恰好被分配到一个叶子中。
刚开始的时候根部有一个棋子。两个玩家轮流移动棋子,每一步都会将这个棋子向他的某一个孩子移动;如果玩家不能再移动棋子了,那么游戏结束。游戏的结果就是棋子所在叶子上面的数字。游戏的先手想要这个数字最大化,而后手想要这个数字最小化。
山巴布里想要给这些叶子分配数字使得最终结果最大,而马族塔想要给这些叶子分配数字使得最终结果最小。那么当山巴布里来分配数字的时候游戏结果会是多少?马族塔分配的时候又是多少呢?山马布里和马族塔并不参加游戏,而是另外两个非常聪明的人来参加游戏。
样例解释:在这个样例中,树有三个叶子:3,4和5。如果把数字3分配给3号结点,那么第一个选手就能够让棋子到达那儿,最终结果就是3。另一方面,很明显,无论怎么分配数字,第一个选手让棋子达到最小数字是2。
单组测试数据。 第一行有一个整数n (1≤n≤2*10^5),表示树中结点的数目。 接下来n-1行,每一行两个整数ui 和 vi (1≤ui,vi≤n) ,表示树中的边,由ui指向vi。 输入保证是一棵有根树,而且根是1。
输出两个整数表示最大值和最小值,以空格分开。
样例输入1 5 1 2 1 3 2 4 2 5
样例输出1 3 2
题解
树形dp好题。
经过思考了好几种状态之后终于把这题想出来了。
最大值和最小值是类似的,所以我们只考虑最大值就行了,我们考虑,对于先手来说,他一定要走子树最小的那一颗子树,而对于后手来说他一定走子树最多的那颗,但后手不是取max而是相加,因为它有走所有的可能啊。
所以定义f[i]表示在子树i中最终有多少个叶子权值比最后结果大,把树的深度按奇偶讨论就行了。
/*
树形dp
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=200010;
const int inf=1e9;
int pre[N*2],last[N],other[N*2],num;
int f[N],dep[N],n,chu[N];
inline void add(int x,int y){
num++;
pre[num]=last[x];
last[x]=num;
other[num]=y;
}
void work(int x,int fa){
if(chu[x]==0) f[x]=1;
for(int i=last[x];i;i=pre[i]){
int v=other[i];
if(v!=fa){
dep[v]=dep[x]+1;
work(v,x);
}
}
if(dep[x]&1){
if(chu[x]!=0) f[x]=inf;
for(int i=last[x];i;i=pre[i]){
int v=other[i];
if(v!=fa)
f[x]=min(f[x],f[v]);
}
}
else{
for(int i=last[x];i;i=pre[i]){
int v=other[i];
if(v!=fa)
f[x]+=f[v];
}
}
}
void work1(int x,int fa){
if(chu[x]==0) f[x]=1;
for(int i=last[x];i;i=pre[i]){
int v=other[i];
if(v!=fa){
dep[v]=dep[x]+1;
work1(v,x);
}
}
if(dep[x]&1){
for(int i=last[x];i;i=pre[i]){
int v=other[i];
if(v!=fa)
f[x]+=f[v];
}
}
else{
if(chu[x]!=0) f[x]=inf;
for(int i=last[x];i;i=pre[i]){
int v=other[i];
if(v!=fa)
f[x]=min(f[x],f[v]);
}
}
}
int main(){
int x,y;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<n;i++) {
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y);add(y,x);
chu[x]++;
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(chu[i]==0) ans++;
dep[1]=1;
work(1,1);
printf("%d ",ans-f[1]+1);
dep[1]=1;
memset(f,0,sizeof(f));
work1(1,1);
printf("%d\n",f[1]);
return 0;
}
在一颗有n个节点的有根树中,两玩家进行棋子移动博弈,目标是使棋子落在数字最大的或最小的叶子节点。通过树形DP解决此问题,先手希望最大化结果,后手则最小化。分析表明,先手会选择子树最小的路径,而后手会选择子树数量最多的路径。最终状态转移方程考虑子树中权值大于最终结果的叶子数量。
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