中心极限定理的一个例子：大小医院的新生儿

一个问题

在复习概率论与数理统计的时候，发现一个有趣的例子：
两家医院，大医院每天新生儿45个，小医院新生儿15个，问一年内哪家医院男新生儿比例超过60%的天数多的可能性大？

乍眼一看，直觉告诉我新生儿的自然男女比例应该固定在50%左右的某个值，两家医院的男女概率应该都是这个值，所以两家医院的可能性相同。
答案明显没那么简单。

这里想引入两个定律：

伯努利大数定律

设$\mu_n$是n重伯努利试验中事件A发生的次数，已知在每次试验中A发生的概率为$p(0 \lt p \lt 1)$，则对任意$\epsilon \gt 0$，有

$$\lim_{n\to\infty}P\{|{\mu_n \over n}-p| \gt \epsilon\}=0$$
即${\mu_n \over n } \to p$或$P-\lim_{n\to\infty}{\mu_n \over n}=p$

大数定律的意思是如果一个事件A的概率为p，那么大量重复试验中事件A发生的概率将逐渐稳定到概率p。

但大数定律并没有告诉我们，当n充分大时，$P\{|{\mu_n \over n}-p| \gt \epsilon\}$的概率到底有多大。此时引入中心极限定理。

中心极限定理

（林德伯格-列维）设$\xi_1,\xi_2,…,\xi_n,…$是一列独立同分布的随机变量，且$E\xi_i=\mu$，$D(\xi_i)=\sigma^2 \gt 0$，$i=1,2,…$，则有

$$\lim_{n\to\infty} \{{\sum_{i=1}^n \xi_i-n\mu \over {\sqrt{n}\sigma}} \le x\}={1\over {\sqrt{2\pi}}} \int_{-\infty}^x e^{-{t^2 \over 2}} dt$$

即${{\sum_{i=1}^n \xi_i-n\mu} \over \sqrt{n}\sigma} \sim N(0,1)$

大数定律没有告诉我们$P\{|{\mu_n \over n}-p| \gt \epsilon\}$的概率到底有多大，但中心极限定理告诉了我们：

$$\frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i - \mu \sim N(0, \frac 1n \sigma^2)$$

这个分布告诉我们，当n越大时，$\frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i - \mu$服从的正态分布的方差越小，$\frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i$靠近$\mu$的概率就越大。

解答

回到新生儿问题，大医院一天的样本量比小医院的样本量要多，所以大医院$\frac 1n \sum_{i=1}^n \xi_i - \mu$服从的正态分布的方差要比小医院的小，所以大医院在x=0.1(60%-50%)的概率要比小医院的小，即大医院一天男新生儿多于60%的可能性比小医院的要小。

所以正确答案是小医院的可能性大。