一些面试题（持续补充更新）

最新推荐文章于 2025-08-14 11:49:44 发布

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#面试题 #秦九韶 #算法

本文介绍了秦九韶算法，一种高效计算多项式的方法。通过反复提取公因子，该算法能够减少计算过程中的乘法次数，从而提高计算效率。文中详细解释了算法的基本原理及其在多项式计算中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.

Q: $x^{4}+ax^{3}+x^{2}+cx+d$ 最少需要做几次乘法？

A: $x^{4}+ax^{3}+x^{2}+cx+d$ = $x(x^{3}+ax^{2}+x+c)+d$ = $x[x(x^{2}+ax+1)+c]+d$ = $x[x[x(x+a)+1]+c]+d$

显而易见，该式最少需要做3次乘法。

补充：这个的考点应该是秦九韶算法吧，下面是算法的原理。

设有 $n+1$ 项的 $n$ 次函数 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+......+a_2x^2+a_1x+a_0$
将前 $n$ 项提取公因子 $x$ ，得 $f(x)=(a_nx^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+a_{n-2}x^{n-3}+......+a_2x+a_1)x+a_0$
再将括号内的前 $n-1$ 项提取公因子 $x$ ，得 $f(x)=((a_nx^{n-2}+a_{n-1}x^{n-3}+a_{n-2}x^{n-4}+......+a_2)x+a_1)x+a_0$

如此反复提取公因子 $x$ ，最后将函数化为 $f(x)=(((a_nx+a_{n-1})x+a_{n-2})x+......+a_1)x+a_0$

通过上面的分析可以看出：对于一个n次的多项式函数，用常规方法（用重复乘法计算幂，再把各项相加）计算出结果最多需要n次加法和 $\frac{(n^2 + n)}{2}$ 次乘法。如果计算中的数值数据是以字节方式储存的，那么常规方法约需要 $x$ 占用的字节的2 $n$ 倍空间。而使用秦九韶算法时，至多只需作 $n$ 次加法和 $n$ 次乘法，最多需要x占用的字节的 $n$ 倍空间。

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