《人工智能现代方法（第4版）》第8章一阶逻辑学习笔记

原创于 2025-12-06 23:53:01 发布 · 335 阅读

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🎯 本章要解决什么？让智能体学会“概括性思考”

想象以下场景：

用命题逻辑描述“所有猫都可爱”：
```
猫1可爱 ∧ 猫2可爱 ∧ 猫3可爱 ∧ ... ∧ 猫9999999可爱
```
（需要为世界上每只猫写一条命题！）
用一阶逻辑描述：
```
∀x (猫(x) → 可爱(x))
```
（一句话搞定所有猫！）

命题逻辑的瓶颈：只能说具体事实，不能表达“所有”、“有些”、“关系”。 一阶逻辑的升级：引入对象、关系、量词，让智能体能说“人话”中的普遍规律。

一、为什么需要一阶逻辑？命题逻辑的“三宗罪”

📝 命题逻辑：只能“点名道姓”

描述“张三是李四的父亲”：
父亲(张三,李四) = True

问题来了：
1. “所有父亲都是男性”怎么写？
   要为每个父亲写：男性(张三) ∧ 男性(李四) ∧ ...
   （世界上有多少父亲就要写多少行！）

2. “李四的父亲是谁？”怎么问？
   只能枚举：父亲(张三,李四)? 父亲(王五,李四)? ...
   （像查电话本，没有“按关系查询”功能）

3. “父亲的父亲是祖父”这种规律怎么表达？
   写不完的组合：父亲(张三,李四)∧父亲(李四,王五)→祖父(张三,王五)
               父亲(A,B)∧父亲(B,C)→祖父(A,C)
               ...

根本问题：命题逻辑是“原子”的，没有内部结构。

🔧 一阶逻辑的三大升级

维度	命题逻辑	一阶逻辑	生活比喻
对象	无	有（张三、猫、数字）	从“无名棋子”到“有名字的棋子”
关系	无	有（父子、大于、属于）	从“单独标签”到“连接线”
量词	无	∀（所有）、∃（存在）	从“逐个点名”到“全体注意”

一阶逻辑 = 命题逻辑 + 对象 + 关系 + 量词

二、一阶逻辑语法：学习“逻辑世界语”的造句规则

🧱 基础词汇表

1. 常量符号：给对象起名字

张三, 李四, 猫1, 北京, 42
像编程里的常量：const PI = 3.14

2. 变量符号：占位符

x, y, z, person, animal
像数学里的x：“对于任意x...”

3. 谓词符号：描述性质或关系

一元谓词（描述性质）：
   猫(x)      # x是猫
   男性(x)    # x是男性
   
二元谓词（描述关系）：
   父亲(x,y)  # x是y的父亲
   大于(x,y)  # x大于y
   
三元谓词：
   借(x,y,z)  # x向y借了z

4. 函数符号：从对象到对象的映射

年龄(张三) = 25        # 张三的年龄是25
父亲(李四) = 张三      # 李四的父亲是张三
加(2,3) = 5           # 2+3=5

注意：函数输出是对象，谓词输出是真/假

5. 量词：表达“多少”

∀x (猫(x) → 可爱(x))      # 所有猫都可爱
∃x (猫(x) ∧ 黑(x))        # 存在黑猫
∃x ∀y (爱(x,y))           # 有人爱所有人（情圣！）
∀x ∃y (爱(x,y))           # 每个人都有人爱（理想世界）

📐 造句规则：如何组合成合法句子

项（Term）：指代对象的表达式

常量：张三
变量：x
函数应用：年龄(父亲(李四))

原子语句（Atomic Sentence）：最基本的陈述

谓词应用于项：
   猫(小花)                 # 小花是猫
   父亲(张三, 李四)         # 张三是李四的父亲
   大于(加(2,3), 4)        # 2+3 > 4

复合语句：用逻辑连接词组合

和命题逻辑一样：
¬猫(x)                    # x不是猫
猫(x) ∧ 黑(x)             # x是黑猫
猫(x) → 可爱(x)           # 如果x是猫，那么x可爱
∀x (猫(x) → 可爱(x))      # 所有猫都可爱

量词的作用域：括号很重要！

∀x (猫(x) ∧ 可爱(x))      # 所有东西都是猫且可爱（显然假）
∀x (猫(x) → 可爱(x))      # 所有猫都可爱（可能真）

∃x (猫(x) → 飞(x))        # 存在x，如果x是猫那么x会飞
                           # 只要有个不是猫的东西，这句话就真！
                           # （因为“假→任何”都为真）

等词（=）：说两个东西是同一个

父亲(小明) = 张三          # 小明的父亲是张三
∀x ∀y (父亲(x)=父亲(y) → x=y)  # 父亲相同则孩子相同（独生子女政策？）

三、一阶逻辑语义：给符号赋予“现实意义”

🏛️ 模型：逻辑的“平行宇宙”

一个模型包括：

论域（Domain）：所有对象的集合

比如：{张三, 李四, 小花, 北京, 42}

解释（Interpretation）：给每个符号赋予意义

常量符号：张三 → 现实中的张三这个人
谓词符号：猫(·) → {小花}（只有小花是猫）
          父亲(·,·) → {(张三,李四)}（张三是李四的父亲）
函数符号：年龄(·) → {张三→25, 李四→30, ...}

🌰 语义示例：同一个句子，不同模型

句子：∃x (猫(x) ∧ 黑(x))

模型	论域	解释	句子真假
模型1	{小花, 小白}	猫={小花,小白}, 黑={小花}	真（小花是黑猫）
模型2	{小花, 小白}	猫={小花,小白}, 黑={}	假（没有黑猫）
模型3	{汽车, 房子}	猫={}, 黑={汽车}	假（没有猫）

关键：句子真假取决于选择的模型！

📊 数据库语义 vs 标准语义

标准语义（开放世界假设）：
   不知道的就是不知道，可能为真也可能为假
   如：知识库没说“小花是猫”，不代表小花不是猫
   
数据库语义（封闭世界假设）：
   知识库没说的就是假
   如：知识库没说“小花是猫”，就认为小花不是猫
   （像数据库查询：查不到记录就当不存在）

四、使用一阶逻辑：从“语法造句”到“实际应用”

💬 断言与查询

# 往知识库添加断言（事实）
断言：猫(小花)
断言：∀x (猫(x) → 哺乳动物(x))

# 向知识库提出查询
查询：哺乳动物(小花)?      # 回答：是
查询：∃x (猫(x) ∧ 白(x))?  # 回答：不知道（没说过颜色）

👨‍👩‍👧‍👦 经典例子：亲属关系

# 基本谓词
父母(x,y)      # x是y的父母
男性(x)        # x是男性
女性(x)        # x是女性

# 定义其他关系
父亲(x,y) ≡ 父母(x,y) ∧ 男性(x)
母亲(x,y) ≡ 父母(x,y) ∧ 女性(x)
子女(x,y) ≡ 父母(y,x)
兄弟(x,y) ≡ ∃z (父母(z,x) ∧ 父母(z,y) ∧ 男性(x) ∧ x≠y)
姐妹(x,y) ≡ ∃z (父母(z,x) ∧ 父母(z,y) ∧ 女性(x) ∧ x≠y)
祖父(x,y) ≡ ∃z (父母(x,z) ∧ 父母(z,y) ∧ 男性(x))
...

# 添加事实
父母(张三, 李四)
父母(张三, 王五)
男性(张三)
女性(李四)
男性(王五)

# 查询
祖父(张三, 小明)?  # 需要知道小明的父母
兄弟(李四, 王五)?  # 是！有共同父母张三

🔢 数、集合与列表

# 自然数（皮亚诺公理）
0是自然数：NatNum(0)
后继函数：∀n (NatNum(n) → NatNum(S(n)))
加法定义：∀m NatNum(m) → 加(m,0)=m
          ∀m∀n NatNum(m)∧NatNum(n) → 加(m,S(n))=S(加(m,n))

# 集合
成员(x,S)      # x是集合S的元素
子集(S1,S2)   # S1是S2的子集
并集(S1,S2,S3)# S3是S1和S2的并集

# 列表
空列表：[]
构造：Cons(元素, 列表)
头(Cons(x,y)) = x
尾(Cons(x,y)) = y

🌍 重回Wumpus世界（现在能说“人话”了！）

# 用命题逻辑时（啰嗦）
Breeze₁,₁ ↔ (P₁,₂ ∨ P₂,₁ ∨ P₁,₀ ∨ P₀,₁)  # 还要处理边界！

# 用一阶逻辑（简洁通用）
∀x∀y (Breeze(x,y) ↔ ∃dx∃dy (相邻(dx,dy) ∧ Pit(x+dx, y+dy)))
# “格子(x,y)有风 当且仅当 存在相邻格子有陷阱”
# 一条规则适用于所有格子！

五、一阶逻辑中的知识工程：如何建造“逻辑大厦”

🏗️ 知识工程五步法

1. 确定任务：要解决什么问题？

例：家庭关系推理系统
任务：回答“张三是李四的舅舅吗？”

2. 知识获取：收集事实和规则

采访家族长辈、查家谱、看户口本...
得到：父母关系、性别、婚姻关系等

3. 选择词汇：定义谓词和常量

常量：张三, 李四, 王五...
谓词：父母(x,y), 男性(x), 女性(x), 结婚(x,y)

4. 编码一般知识：写“家族宪法”

父亲(x,y) ≡ 父母(x,y) ∧ 男性(x)
母亲(x,y) ≡ 父母(x,y) ∧ 女性(x)
子女(x,y) ≡ 父母(y,x)
兄弟(x,y) ≡ ∃z (父母(z,x) ∧ 父母(z,y) ∧ 男性(x) ∧ x≠y)
姐妹(x,y) ≡ ∃z (父母(z,x) ∧ 父母(z,y) ∧ 女性(x) ∧ x≠y)
叔叔(x,y) ≡ ∃z (兄弟(x,z) ∧ 父母(z,y))
...

5. 编码具体事实：填“家族成员表”

父母(张爷爷, 张三爸)
父母(张爷爷, 张叔叔)
父母(张三爸, 张三)
男性(张爷爷)
男性(张三爸)
男性(张叔叔)
男性(张三)
...

6. 提出查询并调试

查询：叔叔(张叔叔, 张三)?  # 应该是
系统：是 ✓

查询：叔叔(张三, 李四)?    # 应该不是
系统：是？ → 检查规则！
发现bug：叔叔规则没要求“x是男性” → 修正

🔌 实例：电子电路领域

# 词汇
类型(x,与门)     # x是与门
类型(x,或门)     # x是或门
输入(x,i)       # i是x的输入
输出(x,o)       # o是x的输出
连接(o,i)       # 输出o连接到输入i
信号(s)         # s是信号（0或1）

# 电路行为规则
∀x (类型(x,与门) → ∀t (信号(输出(x),t) = 
                      ∀i (输入(x,i) → 信号(i,t))的所有信号的与))
# “与门的输出是所有输入的逻辑与”

∀x (类型(x,或门) → ∀t (信号(输出(x),t) = 
                      ∃i (输入(x,i) ∧ 信号(i,t))))
# “或门的输出是至少一个输入为真”

# 具体电路
类型(G1,与门)
类型(G2,或门)
输入(G1, In1)
输入(G1, In2)
输入(G2, In3)
输入(G2, 输出(G1))  # G1的输出是G2的输入
...

# 查询：如果In1=1, In2=0, In3=1，输出是什么？

六、一阶逻辑的威力与局限

✨ 一阶逻辑的表达能力

能表达：
- “所有猫都怕水”：∀x (猫(x) → 怕水(x))
- “存在会飞的猪”：∃x (猪(x) ∧ 会飞(x))
- “每个人的母亲都是女性”：∀x∀y (母亲(x,y) → 女性(x))
- “没有最大的整数”：¬∃x (整数(x) ∧ ∀y (整数(y) → y≤x))

⚠️ 一阶逻辑的局限性

不能表达“大多数”：

“大多数猫怕水” → 无法直接表达
需要：统计然后说“超过50%的猫...”

不能表达概率：

“猫有70%概率怕水” → 需要概率逻辑扩展

不能表达模糊概念：

“小明有点高” → “有点”是模糊的

二阶逻辑才有的：

“所有性质都...”：∀P (P(x) → ...)
这是一阶逻辑做不到的

🚀 一阶逻辑在AI中的核心地位

知识表示的基础：语义网、本体论、知识图谱都基于一阶逻辑思想
数据库的理论基础：SQL查询本质上是一阶逻辑查询
自动推理的起点：定理证明、逻辑编程（Prolog）
自然语言理解：将句子转化为逻辑形式

🧠 第8章思维升华

从“点状思维”到“关系型思维”

命题逻辑：世界是事实的集合（点状信息）
一阶逻辑：世界是对象+关系的网络（连接的信息）

知识表示的哲学

一阶逻辑假设：
1. 世界由对象组成
2. 对象有性质
3. 对象间有关系
4. 有些性质/关系适用于所有对象
5. 有些对象具有某些性质/关系

这几乎是我们认知世界的基本方式！

实际应用中的权衡

完全的一阶逻辑推理很强大，但计算复杂
实际系统常用：
- 数据库语义（封闭世界）
- 霍恩子句（受限但高效）
- 与概率结合（处理不确定性）

最后一句大实话：
一阶逻辑就像“万能公式”——能描述几乎所有规律性知识。
但现实世界充满例外：“所有天鹅都是白的”（直到发现黑天鹅）。
所以第10章要讲“非单调推理”：新证据可能推翻旧结论。