26、混合信号系统的离散时间建模与数字滤波器设计

混合信号系统的离散时间建模与数字滤波器设计

1. 混合信号系统的离散时间建模

1.1 频率响应 $H(j\Omega)$ 和 $G(e^{j\Omega T})$

在混合信号系统中，从 $e(n)$ 到输出 $y(n)$ 的频率响应 $G(e^{j\Omega T})$ 可由 $G(z)$ 直接得到（前提是 $z = e^{j\Omega T}$ 时 $G(z)$ 存在），其表达式为：
[G(e^{j\Omega T}) = \frac{N(e^{j\Omega T})}{D(e^{j\Omega T})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{T}\sum_{p = -\infty}^{\infty}H_1\left(j\Omega - j\frac{2\pi p}{T}\right)P\left(j\Omega - j\frac{2\pi p}{T}\right)}]

而信号频率响应 $H(j\Omega)$ 满足：
[H(j\Omega)\frac{1}{T}X_a(j\Omega) = G(e^{j\Omega T})V(e^{j\Omega T})]
其中：
[V(e^{j\Omega T}) = \frac{1}{T}\sum_{p = -\infty}^{\infty}H_1\left(j\Omega - j\frac{2\pi p}{T}\right)X_a\left(j\Omega - j\frac{2\pi p}{T}\right)]

若输入信号 $x_a(t)$ 满足奈奎斯特采样准则（采样周期为 $T$），即 $| \Omega | \geq \frac{\pi}{T}$ 时，$X_a