12、离散时间线性时不变系统：全面解析与稳定性分析

离散时间线性时不变系统：全面解析与稳定性分析

1. 线性时不变系统基础

线性时不变（LTI）系统在离散时间信号处理领域具有至关重要的地位，拥有丰富的数学理论框架。在电气/电子领域，连续时间的LTI系统可由无记忆元件（如电阻、独立和受控源）和有记忆元件（如电容或电感）构建。而离散时间的LTI系统同样包含无记忆和有记忆元件：
- 无记忆元件 ：加法器、乘法器、信号源和信号汇。
- 有记忆元件 ：延迟元件。

值得注意的是，这里并未涉及这些元件的具体实现方式，包括使用何种电子元件或技术。

2. 状态空间描述

任何N阶LTI系统都可构建为一个包含N个延迟元件、单输入和单输出的无记忆线性(2N + 2)端网络。为便于研究重要现象，我们主要关注单输入单输出（SISO）系统。

通过(N + 1)×(N + 1)矩阵S，可将(N + 1)维输入向量（状态向量x(n)与标量输入u(n)堆叠）映射到(N + 1)维输出向量（状态向量x(n + 1)与标量输出y(n)堆叠）：
[
\begin{bmatrix}
x_1(n + 1) \
x_2(n + 1) \
\vdots \
x_N(n + 1) \
y(n)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A & b \
c^T & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1(n) \
x_2