6、信号处理与机器学习理论基础

信号处理与机器学习理论基础

1 数字滤波器基础

1.1 FIR与IIR滤波器

FIR滤波器的典型幅度响应有最小最大和加权最小二乘两种。其传递函数可改写为显式表示极点位置的形式：
[H(z) = H_0\frac{\prod_{l=0}^{M}(1 - z^{-1}z_l)}{\prod_{i=0}^{N}(1 - z^{-1}p_i)} = H_0z^{N - M}\frac{\prod_{l=0}^{M}(z - z_l)}{\prod_{i=0}^{N}(z - p_i)}]
IIR滤波器通常采用成熟的模拟滤波器近似方法进行设计，如巴特沃斯、切比雪夫和椭圆方法。先设计出原型模拟传递函数，再通过合适的变换方法（如双线性变换和脉冲不变法）将其转换为数字传递函数。

1.2 数字滤波器结构与实现

FIR和IIR传递函数可通过三种基本算子实现：加法器、乘法器和延迟器（用 (z^{-1}) 表示）。
- 线性相位FIR滤波器 ：以奇数阶线性相位FIR滤波器为例，其脉冲响应具有对称或反对称特性，可利用这种对称性减少滤波器实现中的乘法器数量。
- IIR滤波器直接形式实现 ：一种可能的直接形式实现能以最少的乘法、加法和延迟操作实现所需的IIR传递函数。
- 其他实现结构 ：IIR传递函数还可表示为低阶IIR结构的乘积或求和形式，如：
[H(z) = \sum_{k = 1}^{m}\frac{\gamma_{0k} + \gamma_{1k}z^{-1} + \gamma_{2k}z^{-2}}{1 + m_