贝叶斯定理的图表理解

最新推荐文章于 2025-11-22 16:02:20 发布

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本文通过直观的图形展示和物理学中的参考系概念，解析了条件概率的概念及其与全概率的关系，并进一步介绍了贝叶斯定理的含义。

原文来源于知乎的一个网友回复原文地址点击此处

首先把全空间分割成若干个集合B如图1

接着全空间里还有另外一个集合(事件) A见图2灰色区域

现在全空间可以更加细致的分割为图3

现在考察绿色方块，也就是P(A∩B2) =P(AB2)区域

我们借用物理学中的参考系概念。

以全空间为参考系，则事件A和B2发生的概率分别为 P(A | Ω) = P(A) ，P(B2 | Ω) = P(B2)

上述的概率其实也可以等效于图2中相应的方块面积。

但是事件A∩B2在不同的参考系下看的结果是不一样的，有句古话说"情人眼里出西施",一样的道理。我看先看下图

如果以A为参考系（以A为视角），看待A∩B2发生的概率（也就是所谓的条件概率）为

$P( B_2\mid A) = \frac{P(AB_2)}{P(A)}$

上述公式本质上就是进行了归一化，也就是从全空间的角度切换到了参考系A。同样一个事件A ∩B2我们也可以从B2的视角来看待（关注右上角的方块），得到

$P(A\mid B_2) = \frac{P(AB_2)}{P( B_2)}$

于是有了

$P (AB_2)=P (AB_2) P(\Omega) = P( B_2)P(A\mid B_2) =P(A)P(B_2\mid A)$

上述公式本质上说的是在不同相对坐标系下一个事件发生的概率，都可以转换到同一个绝对坐标系下来。另外一个很不严谨的类比就是不同速度飞行的飞船来观察某个物理现象，得到的结论不太一致，但是却有着本质的联系。

贝叶斯其实是想告诉我们，一千个读者有一千个哈姆雷特，但是世界上（全空间坐标系，唯物主义）只有一个哈姆雷特。。。

言归正传，题主想要的公式就是

$P(\text{良好}\mid \text{合格}) = \frac{P(\text{合格}\mid \text{良好})P(\text{良好}) }{P(\text{合格})} =\frac{P(\text{合格}\mid \text{良好})P(\text{良好})}{P(\text{合格}\mid \text{良好})+P(\text{合格}\mid \text{故障})}$

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