15、欧几里得瓶颈斯坦纳树问题的精确解

欧几里得瓶颈斯坦纳树问题的精确解

1. 引言

欧几里得瓶颈斯坦纳树问题（EuclidBST）是在欧几里得平面上给定一组 $n$ 个点（称为终端）和一个正整数 $k$，找到一棵包含所有终端和至多 $k$ 个斯坦纳点的斯坦纳树，使得树中最长边的长度最小化。与经典的斯坦纳树问题不同，该问题关注的是边长度的最大值最小化，且斯坦纳点可以在整个平面 $R^2$ 中选择。这个问题及其变体在 VLSI 布局、多设施选址和无线通信网络设计等领域有应用。

欧几里得瓶颈斯坦纳树问题是 NP 难问题，近似比在 $\sqrt{2}$ 内是困难的。目前已知的最佳近似比上界是 1.866。对于最优解中任意两个斯坦纳点之间不应有边相连的特殊情况，有一个 $(\sqrt{2} + ϵ)$ - 因子近似算法。

为了找到 $k$ 个斯坦纳点的精确位置，许多研究者考虑了问题 2（EuclidBST - FT）：给定欧几里得平面上的 $n$ 个终端和一个包含 $n$ 个终端和 $k$ 个斯坦纳点的拓扑树 $T$，找到一棵具有拓扑 $T$ 且跨越所有终端的瓶颈斯坦纳树。一旦有了这个问题的精确算法，就可以通过枚举所有有效的拓扑树来找到 EuclidBST 的精确解，拓扑树的数量大致由 $(n + k)!$ 界定。

2. 单个斯坦纳点的精确算法

设 $P \subset R^2$ 是一组 $n$ 个点，每个点称为终端。$P$ 的欧几里得瓶颈生成树是 $P$ 的一棵生成树，使得最长边的长度最小化，最长边的长度称为 $P$ 的瓶颈，记为 $b(P)$。问题是找到一个斯坦纳点 $q \in R^2$ 的最优位置，使得 $P \cup {q}$ 的任何瓶颈生成树的瓶颈 $b(P \cup {