11、广义城市度量下的最远邻居问题及最宽单角走廊算法研究

广义城市度量下的最远邻居问题及最宽单角走廊算法研究

1. 广义城市度量算法

在广义城市度量的场景下，我们需要解决在存在障碍物以及高速公路等复杂环境下的最远邻居问题。首先，我们会考虑仅存在障碍物的情况，然后再聚焦于更一般的情况。

1.1 存在障碍物时的最远邻居问题

为了便于解释，我们假设障碍物集合 $O$ 是由相互不相交的简单多边形组成，其总复杂度为 $m$。设 $V$ 为障碍物 $O$ 的顶点集合。Mitchell 给出了在 $L_1$ 平面上存在障碍物时构建最短路径图（SPMs）的最优算法：
- 引理 5 ：给定一组多边形障碍物 $O$，在 $L_1$ 平面上由 $O$ 诱导的距离度量 $d$ 下，源点 $s \in F$ 的最短路径图 $SPM_s$ 可以在 $O(m \log m)$ 时间和 $O(m)$ 空间内计算得到。并且，$SPM_s$ 具有以下性质：
- 任何障碍物顶点 $v \in V$ 都是 $SPM_s$ 的顶点。
- $SPM_s$ 的每条边 $e$ 要么是障碍物 $O$ 中某条边的一部分，要么其斜率 $\varphi \in \Phi$（$\Phi$ 在引理 4 中定义）。
- $SPM_s$ 的每个单元格是 $x$ - 单调或 $y$ - 单调的。
- 设 $v$ 是 $SPM_s$ 中单元格 $C$ 边界上使 $d(v, s)$ 在 $C$ 中所有点中最小的顶点，那么与 $v$ 关联的两条边中，有一条是垂直或水平的。

该算法基于连续 Dijkstra 范式。在存在障碍物的情况下，小波的倾斜角度为 $\pi/4$ 或 $3\pi/4$。但由于障