21、工程应用：切比雪夫逼近与股票数据分析

工程应用：切比雪夫逼近与股票数据分析

在工程领域，常常会遇到各种需要进行数值计算和数据分析的问题。本文将介绍两个重要的应用：切比雪夫逼近和股票数据分析。切比雪夫逼近可用于在嵌入式设备上计算角度，而股票数据分析则能帮助我们了解股票的表现和价值。

1. 切比雪夫逼近

1.1 切比雪夫多项式系数的确定

切比雪夫逼近的目标是确定用于逼近任意函数 $f(x)$ 的切比雪夫多项式的最优系数 $c_n$。在区间 $[-1, 1]$ 上，切比雪夫多项式定义为 $T_n(x) = \cos(n \arccos(x))$。通过三角函数恒等式 $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$，可以推导出多项式的递归公式：
$T_{n + 1}(x) + T_{n - 1}(x) = 2xT_n(x)$，即 $T_{n + 1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n - 1}(x)$。
由此可得：
- $T_0(x) = \cos(0) = 1$
- $T_1(x) = \cos(\arccos(x)) = x$
- $T_2(x) = 2x(x) - 1 = 2x^2 - 1$
- $T_3(x) = 2x(2x^2 - 1) + x = 4x^2 - 3x$
- $T_4(x) = 2x(4x^2 - 3x) - 2x^2 + 1 = 8x^4 - 8x^2 + 1$

以下是使用 Octave 代码计算切比雪夫多项式系数的函数：