数据结构之查找(三)——折半查找(二分查找)

最新推荐文章于 2024-04-20 23:33:43 发布

daocaoren_

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分类专栏：数据结构

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本文深入讲解了折半查找算法的工作原理，包括非递归和递归实现方式，并分析了其性能，如判定树、平均查找长度及优缺点。适合对算法优化感兴趣的读者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

折半查找：每次将待查记录所在区间缩小一半。
具体查找过程： 在一个非递减的有序表中，查找值为21的元素。

1.在表的两端设置两个指针high和low，

2.计算中间位置：mid=(low+high)/2。若关键字的值小于中间位置的值，则在前半区找。即，key<mid，则：high=mid+1。

3.再计算中间位置：mid=(low+high)/2。若关键字的值大于中间位置的值，则在后半区找。即，key>mid，则：low=mid+1。

4.再计算中间位置：mid=(low+high)/2。若关键字的值等于中间位置的值，则说明找到。即，key==mid，则：找到。

若表中没有元素等于key，例如上表中若查找值为63的元素，重复上述步骤，直到high<low时，结束，此时说明未找到。
在这里插入图片描述

算法步骤(非递归)
- 设表长为n，low、high和mid分别指向待查元素所在区间的上界、下界和中点，key为给定的要查找的值：
- 初始时，令low=1,high=n,mid=(low+high)/2
- 让k与mid指向的记录比较
  - 若key==R[mid].key，查找成功
  - 若key<R[mid].key，则high=mid-1
  - 若key>R[mid].key，则low=mid+1
- 重复上述操作，直至low>high时，查找失败。
算法描述——非递归实现

int Search_Bin(SSTable ST, KeyType key)
{
	low = 1;                              //置区间初值
	high = ST.length;
	while (low<=high)
	{
		mid = (low + high) / 2;
		if (ST.R[mid].key == key)         //直到待查元素
			return mid;
		else if (key < ST.R[mid].key)     //缩小查找区间
			high = mid - 1;               //继续在前半区间进行查找
		else
			low = mid + 1;                //继续在后半区间进行查找
	}
	return 0;                             //顺序表中不存在待查元素，返回0
}

算法描述——递归实现

int Search_Bin(SSTable ST, KeyType key, int low, int high)
{
	if (low > high)                      //查找不到时返回0
		return 0;
	mid = (low + high) / 2;
	if (key == ST.elem[mid].key)
		return mid;
	else if (key < ST.elem[mid].key)
	{
		high = mid - 1;
		Search_Bin(ST, key, low, high);  //递归在前半区进行查找
	}
	else
	{
		low = mid + 1;
		Search_Bin(ST, key, low, high);   //递归在后半区进行查找
	}
}

性能分析——判定树
例如有如下的有序表，其每个元素的查找次数如下，

$C_i$ 表示每个元素的查找次数。

上图中的每个结点从查找次数的角度来看，可以改写成树的结构——判定树，如下图，

圆形——内部点，代表查找成功的情况。
矩形——外结点，代表查找不成功的情况。
- 查找成功：
  比较次数=路径上的结点数=结点的层数
  $\le 树的深度 = \left\lfloor {\log _2^n + 1} \right\rfloor$
- 查找不成功：
  比较次数=路径上的内部结点数
  $\le \left\lfloor {\log _2^n + 1} \right\rfloor$
- 平均查找长度ASL(成功时)：
  设表长 $n=2^n-1$ ，则 $h = \log _2^{n + 1}$ (此时，判定树为深度=h的满二叉树)，且表中每个记录的查找概率相等： $P_i=1/n$ ，则ASL为，
  $\frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^h {j \cdot {2^{j - 1}}} = \frac{{n + 1}}{n}\log _2^{n + 1} - 1 \approx \log _2^{n + 1} - 1(n > 50)$
  其中j表示第j层的每个结点要比较的次数， $2^{j-1}$ 表示第j层的结点数。
优缺点：
- 优点：效率比顺序表高，时间复杂度为 $O (l o g n)$
- 缺点：只适用于有序表，且限于顺序存储结构(对线性链表无效)