数据结构之图(十)——关键路径

AOE网

• 定义： 把工程计划表示为边表示活动的网络，叫AOE网。用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动持续时间。
• 例子：
  
  事件：表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。例如，菜单定制(活动A)表示为，
  
  其中，
  结点v1：表示A之前的活动已经完成，
  边：表示活动A，
  边的权值：表示活动A持续30分钟，
  结点v2：表示活动A完成之后的后续活动可以开始。
  
  上述问题的AOE网为，
  
  那么压缩哪项活动的时间可以使总时间变短？——求解关键路径。

求解关键路径

• 例子： 设一个工程有11项活动，9个事件。
              事件v1——表示整个工程的开始(源点：入度为0的顶点)
              事件v9——表示整个工程的结束(汇点：出度为0的顶点)
  
  那么，对于上述的AOE网，我们关心两个问题：
  （1）完成整项工程至少需要多少时间？
  （2）哪些活动是影响工程进度的关键？
  
  解决上述问题的关键，就是找到关键路径。

• 关键路径：路径长度最长的路径。
  路径长度：路径上各活动持续时间之和。

• 4个描述量：
  

  • ve(vj)——表示事件vj的最早发生时间。
    例：ve(v1)=0,ve(v2)=30
  • vl(vj)——表示事件vj的最迟发生时间。
    例：vl(v4)=165
  • e(i)——表示活动ai的最早开始时间。
    例：e(a3)=30
  • l(i)——表示活动ai的最迟开始时间。
    例：l(a3)=120
  • l(i)-e(i)——表示完成活动ai的时间余量。
    例：l(3)-e(3)=90

• 关键活动：关键路径上的活动，即l(i)==e(i)(即，l(i)-e(i)==0)的活动。

• 如何找到关键路径？

  • 如何找到l(i)==e(i)的关键活动？
    设活动ai用弧$<j,k>$表示，其持续时间为：$w_{j,k}$，如下图，
    
    则有：(1).活动ai的最早开始时间(e(i))=以活动ai为边的弧尾(事件vj)的最早发生时间，即，
    $$e(i)=ve(j)$$
               (2).活动ai的最迟开始时间(l(i))=以活动ai为边的弧头(事件vk)的最迟发生时间-活动ai的持续时间($w_{j,k}$)，即，
    $$l(i)=vl(k)-w_{j,k}$$

  • 如何求ve(j)和vl(j)？
    (1). 从ve(1)=0开始向前递推
    ve(j)=Maxi{ve(i)+wi,j},&lt;i,j&gt;∈T,2≤j≤nve(j) = \mathop {Max}\limits_i \{ ve(i) + {w_{i,j}}\} , &lt; i,j &gt; \in T,2 \le j \le nve(j)=iMax​{ve(i)+wi,j​},<i,j>∈T,2≤j≤n
    其中T是所有以j为头的弧的集合。
    
    (2). 从vl(n)==ve(n)开始向后递推
    vl(i)=Minj{vl(j)−wi,j},&lt;i,j&gt;∈S,1≤i≤n−1vl(i) = \mathop {Min}\limits_j \{ vl(j) - {w_{i,j}}\} , &lt; i,j &gt; \in S,1 \le i \le n - 1vl(i)=jMin​{vl(j)−wi,j​},<i,j>∈S,1≤i≤n−1
    其中S所有以i为尾的弧的集合。
    

• 求关键路径的步骤：
  1.求ve(i)、vl(j)
  2.求e(i)、l(i)
  3.计算l(i)-e(i)

• 例子说明：
  
  1.求ve(i)、vl(j)。
  ve(j)=Maxi{ve(i)+wi,j},&lt;i,j&gt;∈T,2≤j≤nvl(i)=Minj{vl(j)−wi,j},&lt;i,j&gt;∈S,1≤i≤n−1ve(j) = \mathop {Max}\limits_i \{ ve(i) + {w_{i,j}}\} , &lt; i,j &gt; \in T,2 \le j \le n\\vl(i) = \mathop {Min}\limits_j \{ vl(j) - {w_{i,j}}\} , &lt; i,j &gt; \in S,1 \le i \le n - 1ve(j)=iMax​{ve(i)+wi,j​},<i,j>∈T,2≤j≤nvl(i)=jMin​{vl(j)−wi,j​},<i,j>∈S,1≤i≤n−1
  
  2.求e(i)、l(i)，计算l(i)-e(i) 。
  $$\begin{gathered} e(i)=ve(j) \\ l(i)=vl(k)-w_{j,k} \end{gathered}$$
  
  3.关键路径如下，
  

• 几点关于关键路径的讨论：

  • 若网中有几条关键路径，则需加快同时在几条关键路径上的关键活动。如：a11、a10、a8、a7。
  • 如果一个活动处于所有的关键路径上，那么提高这个活动的速度，就能缩短整个工程的完成时间，如：a1、a4。
  • 处于所有的关键路径上的活动完成时间不能缩短太多，否则会使原来的关键路径变成不是关键路径。这时，必须重新寻找关键路径。如：a1由6变成3，就会改变关键路径。